几何思维能力训练（如何提升学生学习几何的能力）

本文目录

• 如何提升学生学习几何的能力
• 如何培养自己清晰的几何思维
• 平面几何的学习与理性思维能力的培养
• 初中几何怎么开窍
• 初中生如何提高做几何题的能力
• 数学思维变通能力太差怎么训练
• 如何学好几何有哪些方法可以掌握技巧
• 怎样培养好的数学几何思维
• 图形与几何教学中如何培养学生数学思维能力
• 什么叫几何思维能力

如何提升学生学习几何的能力

《义务教育数学课程标准》(2011年版)中,新增了“几何直观”这一核心概念。它的含义是“利用图形描述和分析问题”。它的作用是“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果”。几何直观可以帮助学生直观的理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用。这足以看出培养学生几何直观的重要性。那么,呢?我认为要做好如下几点:一、在具体的操作中实现几何直观思维的提升1.选择直观教具进行感知是常用的一种教法小学生由于年龄尚小,认知规律还偏于感性认识,容易接受一些直接经验。所以,选择直观教具进行感知是常用的一种教法。直观教具可以包括图片、实物、课件展示、实物模型等。2.实验是小学几何直观性教学的重要组成部分通过实验可以帮助学生将数学知识直观化、形象化,增强对新知识的感性认识。在教学中要精心地设计实验,同时让学生充分动手实验,在实验中去探索、去观察、去分析,从而提高学生的几何直观思维能力。

如何培养自己清晰的几何思维

给合适的，就是你这种做题的立体的想象吧。比如说跟你出了一副图，或者说给你出了一道题，说了一个圆柱体，中间一只蚂蚁以向右上方45°还行，然后向左上方45°发行，然后蚂蚁爬行的轨迹是什么？展开之后，它的周长又是多少？这是一件非常简单的一个几何立体题。在之后的这种几何题之中，或者说在高考过程中难度比这个要大得多，就是说自己平时养成这种想象立体空间的感觉，如果说你们有立体感，这些立体的几何题根本就没有办法做，你根本就想不出来，她就点是在哪儿的。是做题的时候多练习是一方面，但是更多的要自己主动的去思考，去在脑海中会画这种立体的感觉。

平面几何的学习与理性思维能力的培养

平面几何的学习与理性思维能力的培养？ 一是要熟记公式定理，把公式定理背诵记牢，解题时依据题意要求将题目要求与公式定理对照一块过脑子，很容易就会找到突破口； 二是要多看例题，最好自己先做一遍再与例题对照，就很容易找到自己的软肋和误区； 三是要培养逆向思维的能力，可以先假设一个合理的结果，然后从结果向前推导，就能找到其中缺失的环节，然后依据题意将这些环节合理化后，就能实现证明题意的要求。

初中几何怎么开窍

一、打好基础

公式定理在上课的时候应认真听，在实践运用到几何题中，举一反三，基础扎实了，几何体中运用得也就轻松了。

二、巧用辅助线

不同的图形有不同的辅助线做法，例如三角形是三线合一，平行四边形一般做对角线，练多了就开窍了。

三、多做题

做题的过程中必须自己想出来为止，做完后才能对照答案，查看出自己的不足，熟能生巧。

四、善于总结

总结做题的思路和考点，做一道题掌握一类题，放在好题本里，一般是最典型的题，有助于复习和开窍。

五、错题整理

准备错题本，进行整理。为了不浪费时间，可以把原题直接打印出来，再重复复习和做，找出错因也很重要。

六、提升几何思维

平时要锻炼几何思维，可以多训练，玩玩几何方面的游戏，提升空间抽象思维能力，做题就会得心应手。

几何著名定理

1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）

2、射影定理（欧几里德定理）

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分。

4、四边形两边中心的连线与两条对角线中心的连线交于一点。

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点。

8、设三角形A**的外心为O，垂心为H，从O向**边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL

9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。

10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，

11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上

12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）

初中生如何提高做几何题的能力

1 夯实基础，灵活应用知识是提高学生几何证明的关键证明的每一步都是具体运用定理、定义进行推理。读题要细心。有些学生一看到某一题前面部分有似曾相识的感觉，就直接写答案，这种还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取，我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。② 要记。这里的记有两层意思.第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示；第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。③要引申。

数学思维变通能力太差怎么训练

1.一题多解，一题多变，数形结合。2.平时做题多画图，把图记住，推荐你可以试试平时去折一下立体的图形，把它画下来，然后思维去想这个立体的图形，使这个图形浮现在你的思维里。　第一要建立空间观念，提高空间想象力。　　从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。有的同学自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空间观念，是个好办法。有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”，对于建立空间观念也是很有帮助的。第二要掌握基础知识和基本技能。　　要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习前面学过的内容。这是因为《立体几何》内容前后联系紧密，前面内容是后面内容的根据，后面内容既巩固了前面的内容，又发展和推广了前面内容。在解题中，要书写规范，如用平行四边形A**D表示平面时，可以写成平面AC，但不可以把平面两字省略掉；要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或全凭直观；对于文字证明题，要写已知和求证，要画图；用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行的。要学会用图（画图、分解图、变换图）帮助解决问题；要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法——分析法、综合法、反证法。第三要不断提高各方面能力。　　通过联系实际、观察模型或类比平面几何的结论来提出命题；对于提出的命题，不要轻易肯定或否定它，要多用几个特例进行检验，最好做到否定举出反面例子，肯定给出证明。欧拉公式的内容是以研究性课题的形式给出的，要从中体验创造数学知识。要不断地将所学的内容结构化、系统化。所谓结构化，是指从整体到局部、从高层到低层来认识、组织所学知识，并领会其中隐含的思想、方法。所谓系统化，是指将同类问题如平行的问题、垂直的问题、角的问题、距离的问题、惟一性的问题集中起来，比较它们的异同，形成对它们的整体认识。牢固地把握一些能统摄全局、组织整体的概念，用这些概念统摄早先偶尔接触过的或是未察觉出明显关系的已知知识间的联系，提高整体观念。　　要注意积累解决问题的策略。如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到平面距离的问题；或转化为体积的问题。要不断提高分析问题、解决问题的水平：一方面从已知到未知，另方面从未知到已知，寻求正反两个方面的知识衔接点——一个固有的或确定的数学关系。要不断提高反省认知水平，积极反思自己的学习活动，从经验上升到自动化，从感性上升到理性，加深对理论的认识水平，提高解决问题的能力和创造性。一、立足课本，夯实基础　　直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处：　　（2）培养空间想象力。　　（3）得出一些解题方面的启示。　　在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。　　二、培养空间想象力　　为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形（如：直线和平面）、简单的几何体（如：正方体）开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。　　三、逐渐提高逻辑论证能力　　立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出。　　四、“转化”思想的应用　　1.两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。　　2.异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。　　3.面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。　　4.三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。　　以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。　　五、总结规律，规范训练　　立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。　　还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。　　六、典型结论的应用　　在平时的学习过程中，对于证明过的一些典型命题，可以把其作为结论记下来。利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择或填空题时更为方便。对于一些解答题虽然不能直接应用这些结论，但其也会帮助我们打开解题思路，进而求解出答案。

如何学好几何有哪些方法可以掌握技巧

对于学习的人来说，说到几何，相信大家都不会陌生了。一般人对几何都比较头疼，因为在数学方面，几何是比较难的东西，如果没有好的想象力和好的逻辑思维，几何就像天书一样，很难想象出来，也根本不知道答案是什么，因此，很多老师都针对几何的问题，做出了很多课程，给学生学习，希望学生能够通过这些课程提高自己的空间想象能力，掌握几何知识。也有相关的网友提出了这样的问题：如何学好几何？有哪些方法可以掌握技巧？下面我们就针对这个问题，给予答复，希望能够帮助到对此有疑问的人。

培养自己的思考和想象的能力。几何之所以难，是因为它不仅仅要考个人计算能力，更重要的是要考个人的几何思考能力，因此，培养个人的思考能力和想象能力是非常必要的，个人可以通过购买书籍的方式训练自己。对于思维能力，也可以通过自己画图等方式去想象几何的图形，进而促进自己大脑的运转，培养自己的思考和想象能力。

学会应用证明和定理，多学多做。任何一门学科之所以难，是因为我们对它的了解，以及掌握程度不够，只要我们足够努力，并且学会用技巧就能够很好的掌握。对于学习几何的掌握技巧，个人可以尝试多多掌握一些几何的证明结论，在学习的过程中，可以更加灵活地运用，也能够让个人更快地了解和掌握到几何各方面的知识。同时，也要学会去培养自己的逻辑能力，这也是能够掌握几何的一种技巧。对于掌握自己的逻辑能力，可以是说话，也可以是对空间集合的解读等等，让自己更好地学习几何。

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怎样培养好的数学几何思维

这个话题很长的，不大好讲全。 其实平面几何不难的，就像房子，式样很多，但其本元素就水泥，木头，砖头……等几样。几何图形尽管复杂，也不外乎几个基本图形相拼而成！据而究，几何中不外乎20来个基本图形！ 因此熟悉基本图形的性质和应用条件十分重要！举例说明：平行线也是一个最简单的基本图形，性质与判定要弄清外，对其应用条件是；必须有与二平行线相交的第三条直线，添辅助线也是离不开与平行线相交的第三条直线，否则几乎一无用处！ 再如半圆上的圆周角也是个基本图形，应用条件是有一条直径和半圆上的点或90度的圆周角，添线方法是有直径和半圆上的点，没有圆周角，则添圆周角；出现90度圆周角，则添它所对的弦—-直径！ 因此添辅助线实际上为补图，千万不要乱添！（待续） 再举个基本图形的例子：三角形中位线基本图形的应用条件是：出现三角形中位线完整图形；出现过三角形一边中点与端点的平行线；出现三角形或四边形中多个中点；线段倍半关系中出现半线段的端点是带中点线段的中点；线段倍半关系中出现倍线段的端点是带中点线段的一个端点点……。 而常用添线［补图］方法为：有中点三角形完整没有中位线则添中位线；有中位线三角形不完整则补完整三角形；过端点添中点的半线段的平行线得三角形中位线基本图形；过中点添端点的倍线段的平行线得三角形中位线的基本图形等。【能理解其道理吗】 另外对几何中常用的基本方法要掌握，如 （1）出现线段的倍半关系除了用基本图形添线外可倍线段取半，或半线段加倍。【角也可如此处理】 （2）证两线段垂直可使它们相交，然后证明交角为90度，或证明所在三角形其它二角之和为90度。 （3）在圆中一般要把角转化为圆周角，圆心角，弦切角进行证明。 （4）当相等或相比线段相离较远时一般可用平移等方法使它们靠近然后去证明。 （5）出现相比线段重叠在一直线上一般添平行线找相似三角形。 ………… 几何分析十分重要，所谓分析实际上就“是结合条件变革结论” 也就是说要证本结论A，结合部分条件后能否用证结论B代替；证结论B能否用证结论C代替，直至最后是一个定理的结论或条件。（简例为证AB=AC，可用语角B=角C代替）不能指望一步成功，只要明确结合条件后对结论的一次变革就意味着向成功靠近一步！ 要不断完善自己的思维习惯，一旦科学思维习惯形成就不会惧怕平面几何了，而是觉得其中乐趣无穷，也十分简单了。 有机会你可看一下我在爱问上带分析的题答，也许会给你一些直观的帮助。 每做一道数学题往往是第一次也可能是最后一次！不要放过第一次学习的机会，尽量要自己动恼独立完成！自己动过恼筋的方法不易遗忘，平时老依靠别人，考试时无法人依靠了当然考不出好成绩了！ 另外做过的题目还要回头想一下以后有什么值得借鉴的地方，还要思考一下还有哪些方法，不要迷信书本与老师，数学题往往有多种思考方法，当你想出更好方法时也就感到十分骄傲！兴趣也就培养出来了，学习也就十分轻松！还怕不出好成绩吗？若学习老处于应付状态怎么会有好成绩？ 若自己平时时常有依懒性，可能是基本慨念没掌握好，还有是思考方法有问题，不善于结合条件不断变革结论！看见题目后不能眼睛盯住结论不放，而要结合条件不断变革结论！如证二角相等能否结合条件后证其他二用相等代替，能否用证二线段相等代替等等。人的思考速度与光速一样，要充分应用大恼的功能！ “结合条件变革结论”是解题的唯一出路！你明白吗？分析对不对也在于有没有结合条件变革结论！如果结合了不要怀NI自己的分析，而是继续结合条件再变革结论！一般二三下就会柳暗花明又一村了！ 学数学的乐趣也就出来了，学习的兴趣也就出来了，有了兴趣与好的学习方法还怕成绩不上台阶吗？ 不管学什么首先培养兴趣！没有兴趣只靠死记硬背永远不可能学好！兴趣怎么培养呢？主要是学习前人的知识中醒WU其中的道理，就会感到奥妙无穷，兴趣也就慢慢培养出来了。 首先一定要沏底理解概念及其外YE比如初中的三角形中位线定理，你知道它的性质与应用条件吗？其正定理与逆定理不过是交换了条件与结论，不外乎：平行，二个中点，线段倍关系！因此当几何问题中出现多个中点，线段倍半关系，一个中点与平行线问题时就可用中位线或添加中位线基本图形来解。 数理化学习方法大致相同不在死做多做，而在多动脑筋！也就是不但会解而要弄清为什么这样解？怎么想出来的？还有哪些方法？不要怕难题，俞难其奥妙俞多，俞能培养人的兴趣！ 概念也好，解题方法也好一定要在理解基础上记忆！人说一回生二回熟是重复形成记忆，是一种方法，但不是好方法！因为要记的东西太多了！而一天二十四小时有限！总不能不吃不休息！因此要理解基础上进行记忆！不但省时而且不容易忘记。比如某人与你第一次见面很平谈，下次见面还是不认识！但第一次见面时发现他有很特别的地方比如他脸上有一很大的胎记，引起了你的思考，第二次见面就不会忘记了！若第一次见就为一小事大吵了一场，在脑中形成强烈思考，第二次见面也就不会忘记了！有一次我给一学生做一道数学题，做了二十分钟没有做出来！后来我用多种思考方法教会他了。最后我问他：学过没有？原来一个星期前刚学过！这是典型未理解致使很快遗忘的例子！ 因此不要死记硬背，理解基础上的记忆才长久！理解要一过程，表面上要有动脑时间，但从效率上比用大量时间进行重复死记硬背还是合算的！ 学习没有其他 捷径 ，要说捷径 就是要合理利用时间，充分利用时间！上课专心听讲提高课堂学习的效果是合理利用时间的最好方法！人人多是聪明的！不过是充分，合理运用时间吧了！小学时我有二个同班同学，学习很认真，一天到晚肯书本不休息，我只知道一天到晚玩！可考试成绩他们两人总要落后我一大段！人说我聪明，其实不然，不过是我课堂学习效果比他们强几倍！设想一下上课没学好的话课后要多化多少时间才可能去补学好！况且不是一门课，时间不打架才怪呢！ 上面这些是我摘录下来的，我觉得不错，供你参考参考!

图形与几何教学中如何培养学生数学思维能力

如何在图形与几何的教学中促进学生空间观念的发展在图形与几何的领域中，初中阶段我们学习的丰富的图形世界、视图投影、旋转、对称、与圆有关的计算等知识可以发展学生的空间观念。新课标指出:“几何知识的教学,要通过观察，测量，动手操作等实际活动，加深对几何形体的认识。下面举例说明我在平时教学中是如何处理和运用这些知识的：一、培养学生的直觉思维，发展空间观念 直觉思维是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式，这种能进行快速反应的能力，如看题目的条件或题里的图形，能很快说出它的特点，隐藏的意思等的能力，在几何的学习中犹其重要。 1、根据学生的心理特征和认识规律，采用直观手段，让学生在实践操作中逐步发展空间观念。 2、设计一些简单的想象活动，深化知识，培养学生的空间想象能力。 3、丰富学生的数学语言，发展空间观念。例如：再讲圆锥的计算时，我让学生利用手中的三角板以一条直角边为轴进行旋转从上面看它所形成的立体图形，再以斜边为轴进行旋转有得到什么立体图形这样在学生的头脑中就很容易形成圆锥的立体图形。通过让学生制作圆锥模型，来认识和理解圆锥与其展开图之间对应关系，即圆锥的母线长等于扇形的半径长，圆锥底面的周长等于扇形的弧长，从而有利于相关的计算。 二、训练一题多解，发展空间观念通过几年的几何体的教学，我深深地意识到一题多解不仅能从多角度发展学生智力，更能培养学生的空间想象力。 三、　互逆训练，发展学生的空间观念　　在“平面图形”与“立体图形”之间的相互转化过程中，需要教师引导学生观察图形的转化结果并进行比较思考，发现规律，寻求方法。教学中，让学生“说一说”、“摆一摆”，体会不同的立体图形摆放能抽象出相同平面图形，相同平面图形能摆放出不同立体图形，这样的互逆练习有利于培养学生的空间观念。　　例如，出示：四棱锥　　1.引导学生从正面、侧面和上面观察，说出分别看到的是什么平面图形？　　2.让学生在黑板上画出从正面、侧面、上面观察得到的平面图形：　　3.进行有序观察、有条理思考：总之，如果我们教者能处理恰当的话，这对于学生将来高中阶段的立体几何的学习无疑有一定的过渡衔接和启示的作用。

什么叫几何思维能力

数学思维能力，就是在数学思维活动中，直接影响着该活动效率，使活动得以顺利完成的个体稳定的心理特征。数学思维能力是数学能力的一个重要因素。数学思维能力，受到个体数学概括水平、抽象水平及推理水平等因素的影响，因此数学思维能力的主要成分应包括数学概括能力、逻辑思维能力、直觉思维能力、数学问题解决能力以及数学创造性思维能力等要素。数学思维能力的培养，应注重对各个思维能力成分的专项训练，注意培养学生良好的思维品质，同时兼顾诸能力的协同发展。下面分别论述。一、数学思维能力单因素的培养途径1．数学概括能力的培养概括是一种思维过程，它包括两种意义：①指在思想上把具有相同的本质特性的事物联合起来；②指把被研究对象的本质特性推广为范围更广的包含这个对象的同类事物的本质特性。数学概括能力是在数学活动中表现出来的概括能力，即概括数学对象、数量关系和空间形式的能力。在教学中，首先要加强学生对概念、命题的概括能力训练。通过具体实例，在分析、综合、抽象的基础上概括出概念的本质属性，是培养学生概括能力的有效手段。譬如，函数、映射等概念的教学，都可以充分地展示概念的概括过程。同样，命题教学也是培养学生概括能力的重要场所。一个数学命题的产生不是孤立的、偶然的，它必然与某些概念、命题之间存在一定的关系，有其产生的背景。定理、公式往往又是一类问题中具有代表性、统摄程度高的问题，而把诸多问题的共同属性抽象出来，形成定理或公式，这就需要一定的概括能力。因此，命题教学中应注重由特殊到一般的概括过程，如韦达定理、二项式定理、和角公式等命题的教学，都可以进行从特殊到一般的概括。其次，要培养学生对模式和方法的概括能力。从现实问题中概括出具体的数学模型，例如，列方程或不等式解应用问题，用排列或组合解应用问题等，就是一种模式概括。另外，数学问题的解决也存在不同的模式，概括一个问题的多种解题模式，找出模式之间的联系，对培养学生的概括能力是十分有益的。在学完一节、一章的内容之后，可以进行知识体系、解题程序和解题方法的概括，例如，“因式分解”的方法可概括为“一提、二公、三分组”，它既包括了因式分解的三种方法，又揭示了应用时的程序。关于函数研究的一般顺序可概括为：定义→对应法则→定义域→值域→图象→性质→应用，这样就明确了研究函数的基本程序和方法。要注意的是，应当在教师引导下，更多地让学生自己去概括，这样才能提高和发展学生的概括能力。2．直觉思维能力的培养直觉思维与逻辑思维是数学思维的两种互补形式，直觉思维的培养应与逻辑思维培养结合起来进行。在教学中，教师要引导学生寻找和发现事物的内在联系，发现隐蔽关系，对各种信息综合考察，作出直觉的想象和判断。一般说来，类比能启发直觉，直观的背景材料也能激发直觉思维。分析 首先通过观察，发现它与|a＋b|≤|a|＋|b|形状相似，于是直 ＜0。解得x＞7。例2 已知：ai∈(0，1)，i=1，2，…，n，求证：当n＞1分析 先将问题特殊化，取n=2，欲证1-a1a2＜(1-a1)＋(1-a2)。观察1-a1a2，直觉想象该式与图形的面积有关，事实上单位正方形的面积减去长、宽分别为a1、a2的矩形面积恰为1-a1a2。于是构造图8－6(左)。观察图中可得1-a1a2=1-a1＋(1-a2)a1，而0＜a1＜1，所以1-a1a2＜(1-a1)＋(1-a2)。再考察n=3的情形，将1-a1a2a3视为单位立方体的体积减去长、宽、高分别为a1、a2、a3的立方体体积，如图8－6(右)，得1-a1a2a3=1-a1＋(1-a2)a1＋(1-a3)a1a2，而0＜a1，a2＜1，所以1-a1a2a3＜(1-a1)＋(1-a2)＋(1-a3)。对于一般情形，虽然失去了几何原形，但凭直觉可以猜想上述的解题方法具有一般性，事实上，1-a1=1-a1，(1-a2)a1＜1-a2，(1-a3)a1a2＜1-a3，…，(1-an)a1a2…an-1＜1-an。诸式相加即得1-a1a2…另外，注重追求数学本身的美，如对称、和谐、简洁、奇异、统一等，往往可以在对美感的追求中产生顿悟，这不仅对数学研究有重要的方**意义，而且对学习数学，培养学生的数学直觉思维能力也有积极的促进作用。3．数学问题解决及创造性思维能力的培养首先，要培养学生发现和探索数学问题的能力，包括从现实生活中抽象和概括出数学模型，以及在数学自身体系中去发现新的数学问题。教学中应使学生学好基础知识，掌握基本的解题模式和方法，形成必要的解题技能。教师应给学生讲授一些必要的数学方法，如一般化与特殊化、类比与猜想等。使学生掌握一定的探索数学问题的工具。同时，还要注意训练学生的逆向思维和发散思维，这是创造性思维中最活跃的要素。其次，要培养学生评价数学问题、推广和综合数学问题的能力。题目解完后，应对题目进行反思，思考自己的解法是否最优？其解法是否具有普遍意义？问题本身是否具有推广价值？将条件减弱或加强能得到怎样的结论、逆命题是否成立等。例如，当等比数列的前n项和公式推导出来后，应对其推导方法作回顾，发现这种方法不仅能解决等比数列的求和，而且还能解决诸如｛anbn｝(其中｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列)等数列的求和问题。综合数学问题指能够辨别数学知识之间的差异，找出知识之间的联系，形成概念体系、命题体系和方法体系。例如，在学完等差数列和等比数列的内容之后，可以引导学生思考：能否用一个关系式将这两种数列合为一体？经过分析后发现可以做到。设an＋1=Aan＋B(其中A、B为常数，n≥2)，当A=1时为等差数列，当A≠0，B=0时为等比数列。进而再引导学习思考：是否可以求出这个数列的通项及求和公式？若能办到，岂不是就找到了等差、等比数列通项及求和的统一公式了吗？于是采用新的方法，将这个问题彻底解决。推广数学问题，对于培养学生的创造性思维能力是十分有益的，教师应适时、适当地开展这项工作，充分利用课本中的例、习题、引导学生去挖掘和拓广数学问题。例3 如图8－7，在△A**中，AB=AC，AD⊥**于D，F引导学生思考，因AB=AC，AD⊥**与D是**的中点，三个条件是“三线合一”定理，因此可以通过“换位”构造新命题。命题1：D为△A**中**边中点，F为AD的中点，CF的延长再将特殊点D和F一般化，得如下推广命题。命题4：在△A**中，D为**上一点，F为AD上一点，且 二、数学思维品质的培养途径培养学生的数学思维品质，就是从提高数学思维的质量方面去发展数学思维能力。思维品质是个体发展水平的一个重要方面，加强思维品质的训练对提高数学思维能力有重要的促进作用。1．要展示数学思维的活动过程传统的数学教学注重数学的结果教学，即以知识和已有的数学结论为中心，目的是让学生学习和掌握系统的数学知识，忽视数学知识本身的产生和发展过程。现代数学教学观则强调数学的思维活动教学，数学教学不仅要反映数学活动的结果——理论，而且还要反映这些理论的形成发展以及思维的活动过程。数学教材所表现的是经过逻辑加工后的数学理论体系，呈现为概念——定理(公式、法则)——例题(习题)的纯数学系统，而没有揭示概念的发展、定理的发现、证明思路的猜测和证明方法的探索等过程，这事实上在一定程度上颠倒了数学发现的过程，掩盖、淹没了数学发现、数学创造和数学应用的思维活动。如果教师在教学中照本宣科，把教材内容原样地灌给学生，这无疑将会抑制学生的探索、发现、创新思想，阻碍学生思维的发展和能力的提高。因此在教学中，教师要精心组织教学内容，将凝结于教材中的思维活动展开，把演绎体系背后存在的大量丰富内容挖掘出来，为学生创设问题情景，引起认知冲突，构建知识体系。概念教学中，要充分揭示概念的产生、抽象和概括过程。公式、法则、性质、定理的教学，要努力暴露出规律被发现的过程及证明思路的探索过程，找出命题之间的联系，形成命题体系，这对于培养思维的深刻性是十分有益的。例如，讲述圆幂定理时，可以通过图8－8的一组图形，启发学生从运动、变化的观点去发现问题，这样便依次可得到相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，同时又找出了诸定理证明的统一的方法。例题、习题的教学是培养思维品质的良好场所，教师应侧重揭示方法的探索和方法的选择过程，暴露思维活动，起到引路指津的作用，而不是越俎代庖。习题的选择要在运用知识的广度、思维训练的强度、发展智能的效度等多方位的全面考虑。培养思维的深刻性、灵活性、敏捷性常采用一题多解的方法，培养思维的独创性、批判性则可采用一题多变的方式进行。2．要使学生掌握必须的数学思维方法前面介绍了常见的几种数学思维方法，在教学中，教师应努力做到使学生掌握这些思维方法，不能理解和灵活地运用数学思维方法，就谈不上思维品质的优化。首先，掌握数学思维方法应有一个思维定向训练过程，即训练学生在遇到新问题时，善于识别问题的特征，准确地将其归结为某种数学模型，尽快地明确解题思路，选择解题方法。例如，解方程的基本思路是通过消元或降次去实现化归；平面几何中证明直线共点和点共线问题，一般采用解析方法处理；立体几何中求异面直线间的距离以及线面、面面间的距离，一般总是将其转化为求点线、点面的距离等。其次，思维技能的训练也是一个不可缺少的环节。思维技能形成的标志是动作或心智活动的熟练化，而心智技能形成又主要表现在思维的敏捷性、思维的广度与深刻性等品质方面。技能的形成要通过一定的反复练习，但不能局限于呆板的机械操作，应有意识地突出技能训练中的思维成分。譬如，解一元二次方程，除了掌握求根公式外，还应训练学生如何通过观察、判断来实施操作，迅速地选取合适的方法求解。例如，解下列方程：(1)18x2-33x＋15=0；(2)(1992x)2-1991×1993x-1=0；这些方程分别有1或-1的根，若能通过观察发现这个根，则另一根就很容易求出。使学生掌握必须的数学思维方法，还必须处理好各种思维方法的辩证关系，不可厚此薄彼，对于演绎与归纳、逻辑思维与直觉思维、证明与反驳等等，都不应过份强调一种思维方法的重要性而忽视另一方面的作用。单一的思维方式不利于思维品质的提高，而且还会形成思维的定势，阻碍思维能力的发展。三、数学思维能力诸因素的协同发展数学思维能力的提高，受到其各因素成分的发展制约，整体数学思维能力的健全是各构成因素协同发展的结果。因而，培养和训练协同发展各能力因素是培养数学思维能力的有效途径。1．各能力因素的培养应在相应的思维活动中进行前面已经讨论了暴露思维过程在思维品质培养方面的作用，更具体地说，各能力因素的培养，应在相应的思维活动中进行，各种思维方式有不同的活动情境，产生不同的功能。各种思维方法之间相互渗透，各种思维能力因素相互联系、互为作用，正确处理好部分的功能就最大限度地提高整体的功能。因此要掌握数? �嘉�疃�媛桑�诓煌�乃嘉�疃�醒盗废嘤Φ乃嘉�?span lang="EN-US"》数学思维活动可以看作是按下述模式进行的。①经验材料的数学组织化，即借助于观察、实验、归纳、类比、概括积累事实材料；②数学材料(在①阶段活动中积累的)的逻辑组织化，即由积累材料中抽象出原始概念和公理体系，并在这些概念和体系的基础上演绎出理论；③数学理论(在②阶段中建立的)的应用。显然，数学思维活动的各阶段有各自的活动特点和规律，数学思维能力的各因素应在活动过程中居于各自相应的位置得到发展，在教学中应充分认识三个阶段的重要性。2．各能力因素的培养应在不同的教学阶段中进行中学数学分为许多科目，每一科目又可分为若干分支，所以培养需耐心和新颖