伽罗瓦基本定理（伽罗瓦理论是正确的吗）

本文目录

• 伽罗瓦理论是正确的吗
• 伽罗瓦是谁
• 2020-02-17 伽罗瓦理论概述
• 近世代数理论基础35：伽罗瓦群及其子群的固定子域
• 怎么准确的理解伽罗瓦理论基本定理
• 【抽象代数】伽罗瓦理论简介
• 一般群论书的伽罗瓦理论部分经常提到 x^n - 1 = 0 有代数解（不是三角解），但好像没证明，到底如何证明的
• 伽罗瓦理论（三+）

伽罗瓦理论是正确的吗

是的，伽罗瓦理论是用已知的数学逻辑公理、规则，得出的推论。。。。也就是说：伽罗瓦理论完全符合逻辑，是正确的。。。。。。。。

伽罗瓦是谁

伽罗华 伽罗华（Évariste Galois，公元1811年-公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（Solution by Radicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他己经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他还与埃科尔综合技术学院（école Polytechnique）的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个职位。在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。他第三次送交科学院的论文亦为泊松（Poisson）所拒绝。伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。他被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩的人物之一。Galois小传：1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。天才的童年1811年10月25日，伽罗华出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内。现在这所房屋的正面有一块纪念牌，上面写着：“法国著名数学家埃瓦里斯特•伽罗瓦生于此，卒年20岁，1811～1832年”。纪念牌是小镇的居民为了对全世界学者迄今公认的、曾有特殊功绩的、卓越的数学家——伽罗瓦表示敬意，于1909年6月设置的。伽罗瓦的双亲都受过良好的教育。在父母的熏陶下，伽罗瓦童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格。其父尼古拉•加布里埃尔•伽罗瓦参与政界活动属自由党人，是拿破仑的积极支持者。主持过供少年就学的学校，任该校校长。又担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴。伽罗瓦曾向同监的难友勒斯拜——法国著名的政治家、化学家和医生说过：“父亲是他的一切”。可见父亲的政治态度和当时法国的革命热潮对伽罗瓦的成长和处事有较大的影响。伽罗瓦的母亲玛利亚•阿代累达•伽罗瓦曾积极参与儿子的启蒙教育。作为古代文化的热烈爱好者，她把从拉丁和希腊文学中汲取来的英勇典范介绍给她儿子。1848年发表在《皮托雷斯克画报》上有关伽罗瓦的传记中，特别谈到“伽罗瓦的第一位教师是他的母亲，一个聪明兼有好教养的妇女，当他还在童稚时，她一直给他上课”。这就为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。1823年l0月伽罗瓦年满12岁时，离开了双亲，考入有名的路易•勒•格兰皇家中学。从他的老师们保存的有关他在中学生活的回忆录和笔记中，记载着伽罗瓦是位具有“杰出的才干”，“举止不凡”，但又“为人乖僻、古怪、过分多嘴”性格的人。我们认为这种性格说明他有个性，而且早已显露出强烈的求知欲的标志。伽罗瓦在路易•勒•格兰皇家中学领奖学金，完全靠公费生活。在第四、第三和第二年级时他都是优等生，在希腊语作文总比赛中也获得好评，并且在1826年l0月转到修辞班学习。但是第二学季一开始(伽罗瓦这时刚满15岁)，由于教师们认为他的体格不够强壮，校长认为他的判断力还有待“成熟”，他不得不回到二年级。重修二年级，使伽罗瓦有机会毫无阻碍地被批准去上初级数学的补充课程。自此他把大部分时间和主要精力用来研究、探讨数学课本以外的高等数学。伽罗华经常到图书馆阅读数学专著，特别对一些数学大师，如勒让德的《几何原理》和拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》进行了认真分析和研究，但他并未失去对其他科目的兴趣。因此，当1827年伽罗瓦回到修辞班时，他的全面发展甚至比他的数学的天分在同学之中更加出人头地了。但是他对其它科目的教科书的内容以及教师所采用的教学法之潦草马虎感到愤怒。所以有的教师认为他被数学的鬼魅迷住了心窍，有的教师用七个字“平静会使他激怒”来形容他的行为。这时伽罗瓦已经熟悉欧拉、高斯、雅可比的著作，这更提高了他的信心，他认为他能够做到的，不会比这些大数学家们少。到了学年末，他不再去听任何专业课了，而在独立地准备参加取得升入综合技术学校资格的竞赛考试。结果尽管考试失败，但1828年10月，他仍然从中学初级数学班跳到里夏尔的数学专业班。路易•勒•格兰中学的数学专业班教师里夏尔，在科学史上，他作为一个很有才华的教师使人追念。里夏尔不仅讲课风格优雅，而且善于发掘天才。他遗留下的笔记中记载着：“伽罗瓦只宜在数学的尖端领域中工作”，“他大大地超过了全体同学”。里夏尔帮助伽罗瓦于1828年在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应用数学年报》三月号上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个定理的证明》，并说服伽罗瓦向科学院递送备忘录。1829年，伽罗瓦在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院。1829年，中学学年结束后，伽罗瓦刚满18岁，他在报考巴黎综合技术学校时，由于在口试中主考的教授比内和勒费布雷•德•富尔西对伽罗瓦阐述的见解不理解，居然嘲笑他。伽罗瓦在提及这次考试时，曾写道，他不得不听“主考人的狂笑声”。据说“由于被狂笑声所激怒”，他把黑板擦布扔到主考人头上，或是因为他拒绝回答有关关于对数这样的过于简单的问题，所以再次遭到落选，伽罗瓦仍然是一个非正式的预备生。1829年7月2日，正当伽罗瓦准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。这给了伽罗华很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义。其后不久，伽罗华听从里夏尔的劝告决定进师范大学，这使他有可能继续深造，同时生活费用也有了着落。1829年10月25日伽罗华被作为预备生录取入学。进入师范大学后的一年对伽罗瓦来说是最顺利的一年，1828年他的科学研究获得了初步成果。伽罗瓦写了几篇大文章，并提出自己的全部著作来应征科学院的数学特奖。但在这里，他又一次遭到了新挫折：伽罗瓦的手稿原来交给科学院常任秘书傅立叶，傅立叶收到手稿后不久就去世了。因而文章也被遗失了。这些著作的某些抄本落到数学杂志《费律萨克男爵通报》的杂志社手里，并在1830年的4月号和6月号上把它刊载了出来。在师范大学学习的第一年，伽罗瓦结认了奥古斯特•舍瓦利叶，舍瓦利叶直到伽罗瓦临终前一直是他的唯一亲近的朋友。1830年7月，伽罗瓦将满19岁。他在师范大学的第一年功课行将结束。他这时写成的数学著作，已经使人有可能对他思想的独创性和敏锐性作出评价。数学世界的顽强斗士19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一。历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。法国数学家拉格朗日更是称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。伽罗瓦通过改进数学大师拉格朗日的思想，即设法绕过拉氏预解式，但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来的思想，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告……但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，讨论已指明的议题。”然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作，这是一个非常微妙的“事故”。1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是“完全不能理解”。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的支持，但他并没有灰心，他坚持他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还进一步向更广的领域探索。天才的陨落伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易•腓力浦朝代初期，他是当时最先进的革命政治集团——共和派的秘密组织“人民之友”的成员，并发誓：“如果为了唤起人民需要我死，我愿意牺牲自己的生命”。伽罗瓦敢于对政治上的动摇分子和两面派进行顽强的斗争，年轻热情的伽罗华对师范大学教育组织极为不满。由于他揭发了校长吉尼奥对法国七月革命政变的两面派行为，被吉尼奥的忠实朋友，皇家国民教育委员会顾问库申起草报告，皇家国民教育委员会1831年1月8**准立即将伽罗瓦开除出师范大学。之后，他进一步积极参加政治活动。1831年5月l0日，伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕。在6月15日陪审法庭上，由于共和党人的律师窦本的努力，伽罗瓦被宣告无罪当场获释。七月，被反动王朝视为危险分子的伽罗华在国庆节示威时再次被抓，被关在圣佩拉吉监狱，在这里庆祝过他的20岁生日，渡过了他生命的最后一年的大部分时间。在监狱中伽罗华一方面与官方进行不妥协的斗争，另一面他还抓紧时间刻苦钻研数学。尽管牢房里条件很差，生活艰苦，他仍能静下心来在数学王国里思考。伽罗瓦在圣佩拉吉监狱中写成的研究报告中写道：“把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类，这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路。”请注意到“把数学运算归类”这句话，道出了他的理想、他的道路。毋庸置疑，这句话系指点目前所称的群论。由于其后好几代数学家的工作，最终才实现了伽罗瓦的理想。正是他的著作，标志着旧数学史的结束和新数学史的开始。l832年3月16日伽罗华获释后不久，年轻气盛的伽罗华为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗华非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。伽罗华对自己的成果充满自信，他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，这些对于消除所有有关的混乱是有益的。”第二天上午，在决斗场上，伽罗华被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去”。他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑就是他的著作，由两篇被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿组成。历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有五年。群论——跨越时代的创造伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了十四年后，也就是1846年，才由法国数学家刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后将这些论文发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想，写了《论置换与代数方程》一书，在这本书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述。伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。伽罗瓦非常彻底地把全部代数方程可解性问题，转化或归结为置换群及其子群结构分析的问题。这是伽罗瓦工作中的第一个“突破”，他犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的彗星，开创了置换群论的研究，确立了代数方程的可解性理论，即后来称为的“伽罗瓦理论”，从而彻底解决了一般方程的根式解难题。作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。对伽罗华来说，他所提出并为之坚持的理论是一场对**、对时代的挑战，他的“群”完全超越了当时数学界能理解的观念。也许正是由于年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思考，去描述他的数学世界。也正因如此，他才受到了冷遇。在这里，我们后人感受到的是一种孤独与悲哀，一种来自智慧的孤独与悲哀。但是，历史的曲折并不能埋没真理的光辉。今天由伽罗华开始的群论，不仅对近代数学的各个方向，而且对物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响。

2020-02-17 伽罗瓦理论概述

伽罗瓦理论比较复杂，这里不做证明，只做一个简单的概述，读者通过这个概述可以明白其大概表达的含义是什么。

首先，伽罗瓦理论是关于高次方程可解性判别的理论，决定高次方程（通常是》=5次）的方程是否有根式解， 伽罗瓦对这个问题给出了完全的解答，结论之一是 一般的高次方程(》=5次） 无根式解；

所谓根式解，是指解的表达式中，只包含 以及开根运算(可以任意次根）

对于一般的2,3,4次方程都有求根公式，但对于5次方程，历史上很长一段时间无人求解，直到阿贝尔和伽罗瓦给出这个问题的解答，证明一般5次方程无根式解

下面简述为何5次方程无根式解，其基本思路如下：

1，首先介绍数域的概念 数域简单来说就是一系列关于 计算封闭的数的集合，举3个例子： 1)有理数域Q ， 任何两个有理数经过 4则运算 仍然是有理数 2)有理复数， 形如 的数，其中 ,容易证明其仍然对4则运算封闭；

2，分裂域 给定一个n次方程，其系数所在的数域记作K，根据代数基本定理，其恰好有n个根，（这里大前提假定存在一个数域M,包含方程的所有根，伽罗瓦并没有证明这一点，只是默认这样的数域存在 ，所谓一个数域包含方程的根，指的是这个数域中存在一个数，我们将这个数代入这个方程，则等式成立，很显然，只有M:K时这个将数代入方程的计算才有意义） 则我们可以找到M的一个子域，这个子域L满足2个条件 1)L包含M中方程的所有根 2)不存在L的真子域也包含M中方程的所有根 （可见简单的理解为L是最小的包含方程所有根的域） 这个L被称为这个方程在系数域K 上的分裂域 （意思就是方程可以在这个域上分裂为线性因子乘积)

3， 方程可根式解蕴含的一个必要条件 方程可以根式解，意味着我们可以进行如下操作： 1)在系数域K的基础上，通过添加K中的某个元素k的n(可假设为素数，因为任意整数可分解为素数乘积) 次根，得到一个更大的域 K’; 2)然后在K’上继续上述操作... 3)最终我们得到一个域L 恰好是方程的分裂域 简单来说，就是如果一个方程可解，那么意味着方程的分裂域 L和系数域K存在如下关系: 并且其中 每个域 是 通过向 中添加其某个元素的n次根得到的

4, 伽罗瓦群 （核心概念） 伽罗瓦主要研究了上面的域塔必须满足什么样的条件，或者说有什么样的性质； 为了描述这个性质，必须引入伽罗瓦群的概念；

给定域扩张 则这个扩张的伽罗瓦群 := L的所有K自同构映射所组成的群 $

这里首先引入两个，自同构映射的概念，所谓自同构映射，指的是一个数域到自身的映射f（就是普通数学中的映射），这个映射f具备保持 四则运算不变的性质， 也就是说，如果给定L中任意两个元素 , 同时这个映射还必须是一个双射，这样的映射就叫做自同构映射；

举例来说，以有理数域 为例， 就是一个自同构映射,这个被称为平凡自同构，它在自同构中起的作用相当于0在加法中的作用

所谓L的K自同构映射 指的是 除了该映射是L-》L上的自同构之外，还有附加条件，就 是

那么L的所有K自同构映射 组成了一个集合 ，这个集合恰好是一个群

这里引入群的概念，我们不给出一般群的定义，只给出映射组成群的定义， 大家都知道映射是可以复合的，比如两个映射 , 我们可以定义复合映射 ,容易证明 如果两个映射都L的K自同构映射，其复合映射也是 L的K自同构映射；把这种复合看成 两个映射之间的一种2元运算 ，也就是把2个映射 映射到 1个映射 的映射； 那么，我们就在L的K自同构映射的集合上添加了一种运算符 ,这个运算满足封闭性（也就是上面所述的），同时存在单位映射（也就是上文的平凡映射），它和任何映射的复合 仍然是 那个映射本身， 以及逆映射 ; 那么只要一个集合上的2元运算满足以上性质，就构成一个群；

不难证明，L的所有K自同构映射 在映射复合的基础上构成了一个群，这个群就是

5, 最后我们给出伽罗瓦理论的描述

我们回到3中提出的问题，给定满足3中条件的域塔: 其满足 每个域 是 通过向 中添加其某个元素的n次根得到

那么如果域塔满足这个条件，伽罗瓦提取出了该域塔必须满足的一个必要条件，那就是： 给定群: 伽罗证明了 (1)这些群，满足以下包含关系: (2)并且 每个群 是 的正规子群 （子群的概念和子域类似，指的是一个群的子集本身关于该群的计算封闭； 正规子群就是一种特殊的子群） (3), 对 的商群（群和其正规子群可以做除法，从而产生商群，具体定义略）是个p次循环群（最简单的一种群，阶数为p）

同时伽罗瓦最大的发现还在于，他证明该条件不但是一个必要条件，也是一个充分条件，也就是说，如果 存在一个降正规列（类似上述的群塔，每一个是右边一个的正规子群，且商群为p次循环群 ，直到只包含一个元素的群{e} ;同时 具备该性质的群Gal(L:K)被称为可解群） 那么我们就可以反过来构建出上述域塔，直到包含方程的所有根；

如此，就得到了一句著名的论断： 一个方程可以根式求解 当且仅当 其分裂域 在系数域 上的扩张 对应的伽罗群 为可解群 ；

当然，这里面省略了很多细节，不过思路是说清楚了，最后利用上述论断，可以把方程是否可根式解的问题转换为伽罗瓦群的可解性问题，而域的话通常包含无穷元素，但伽罗瓦群是有限群，只包含有限个元素，因此理论上一个群是否可以解 一定可以在有限时间内求解出来； 同时伽罗瓦论证了，对于一般的5次方程或者更高次方程来说，其伽罗瓦群恰好不可解，因此一般的5次或更高次方程就无根式解了； 所谓的一般的方程的5次方程，指的是系数都是未知数（用字母表示的那种）方程；不排除某些特殊方程（例如分圆方程 ）可以根式求解；

后记： 伽罗瓦被认为 是人类历史上最具创造力的数学家之一，个人认为他解决该问题主要借鉴了2位大师的研究成果和思路， 一个是拉格朗日（曾系统研究过5次方程解问题，提出了拉格朗日预解式的概念，对于L:K中的L可以给出精确刻画；在伽罗瓦理论推理中起到重要作用，同时也意识到置换（其实就是置换群）对方程根的决定意义，但没有明确提出） 另外一个就是高斯（系统解决了分圆方程的根式求解问题，其中已经蕴含域扩张的思想只不过没有明确提出，同时分圆域和正规扩域有着密切联系，其中一些计算技巧也被伽罗瓦直接借鉴） 不过伽罗华最大的贡献在于提出了群的概念，把域和群结合起来， 伽罗瓦只活了21岁，大概在18-21岁解决了这个问题，被认为是早逝的天才， 同时伽罗瓦理论对域的分析的直接推论也可以解决古希腊三大难题中的两个 三等分已知角 ，倍立方 都是不可能的 （证明思路大概都是说不存在那样的域扩张） 伽罗瓦之后数学渐渐走向抽象的现代数学，因此这是一个值得纪念的里程碑事件

近世代数理论基础35：伽罗瓦群及其子群的固定子域

设 为伽罗瓦扩张, 为它的伽罗瓦群, 为 的子群 令 ,即 是在H中任一相对F自同构作用下不变的元所组成的子域,显然有 例： 的6个元中, 是恒等映射 它对应的固定子域 故 , 是2阶子群 易知 类似地, 也都是2阶子群故 易知 故 是一个3阶循环群,且 方程 的3个根为 方程的伽罗瓦群 是这3个根的置换群 若用循环置换表示,并1代表 ,2代表 ,3代表 ,则 , , , , 即 中的偶置换群 易知 的固定子域为 定理：若 是伽罗瓦扩张, ,则 证明：定理：设 为伽罗瓦扩张, , ,则 和 互为逆映射,给出了 和 之间的反序一一对应 注：反序指：若 ,则 ,若 ,则 证明：例： 1.令 表示有 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 看作它的子域 的n次扩张 是由 相对 的自同构 生成的n阶循环群 其中 G的任一子群 ,r为n的因子 ,故 当且仅当 ,即子群 对应的固定子域是 2.设p为素数,p次本原单位根 在 上的极小多项式为 g为模p的原根, 是由相对 的自同构 生成的p-1阶循环群G的任一子群 ,其中e是p-1的因子 推论：设 , ,则 , 其中 为由 和 生成的G的子群, 表示域 生成的子域 证明：

怎么准确的理解伽罗瓦理论基本定理

域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。 若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal(K/F)。 对于H是Gal(K/F)的子群，称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域，这是一个中间域。 对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。 F⊂E⊂K形式的伽罗瓦扩张，E/F是正规扩张当且仅当Gal(K/E)是Gal(K/F)的正规子群。 在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。 广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内容。

【抽象代数】伽罗瓦理论简介

在研究域 F 的代数扩张 E 时，首要的前提是扩域 E 是存在的，其次还要让所有扩域在同一个空间，即它们之间是可运算的。满足这样条件的空间便是 F 的代数闭包，使用集合论的语言，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数扩域的性质自行讨论，这里就先假定它的存在性。其次，不同的闭包之间并不一定是互通的，下面的讨论将回避这种“平行世界”的讨论，将范围限制在某个选定的代数闭包 中。

即使只在某个闭包中，满足特定条件的扩域总也有多种选择的方法，这种将域对应到闭包中的映射一般称为 域的嵌入 ，不同的嵌入之间称为 共轭域 。它不仅给域找到了统一的闭包，还是研究扩域结构的重要方法（共轭域当然都保持 F 完全不变）。在前面构造单扩域时，你可能已经发现，构造出的扩域其实与根的选取无关，它们互为共轭域。如果将单扩域嵌入到闭域中，每一种嵌入方**好对应 的一个根，这些共轭域之间可能有互异元素，也可能元素相同但嵌入的方法不同。

以上出现互异元素是因为，可能不是所有根都在同一个单扩域中，我们自然要问：那么不同的分裂域嵌入还会有互异元素吗？更一般地，考察多项式集合 的分裂域 ，假设 同构于另一个分裂域 且同构映射为 。因为任何 的系数在 F 中，所以总有 ，所以 只是 的一个置换。由此若设 S的所有根为 R，则有以下推导过程，也就是说 是 的自同构。

只有自同构共轭的域叫 自共轭域 ，像分裂域这种保持 F 不变的域被称为 F-自共轭域。以上结论证明了：多项式集合的分裂域是自共轭域。容易证明自同构和 F-自同构都形成群，其中自同构群记作 Aut(E)，F-自同构群又叫 伽罗瓦群 ，一般记作 ，这个群将是我们研究的重点。如果 E 是 在 上的分裂域， 也叫多项式 的伽罗瓦群，记作 或 。

• 证明 只有恒等自同构，而 C 的自同构有无穷多个。

F-自共轭域体现了扩域的唯一性，而另外我们知道，代数扩域可以从任何代数元的单扩域开始。考察 F-自共轭的扩域 E 中任意不可约多项式 ，如果它在 E 上有一个根 a，则 E 可以从 开始生成。前面的讨论中已知，它共轭于一个从 生成的扩域（a′为 的另外一个根），由F-自共轭域的唯一性可知 ，故 在 中是分裂的。对任意不可约多项式 ，若它有根在扩域 E 中，必能得出其它根也在 E 中，这种扩域叫 正规扩域 （要注意，若 在 没有根，并不意味 在 中不可分解）。刚才的结论就是说F-自共轭域是正规扩域，还容易证明正规扩域可以看成是其所有可分裂多项式的生成域，结合前面的结论，以下三个命题是等价的（E为 F 的代数扩域）。 　　（1）E是F的正规扩张； 　　（2）E是F中某个多项式集合的分裂域； 　　（3）E是F-自共轭域。

特别地，若扩张为有限扩张，则第二个命题可以改成某个多项式的分裂域。通过这些等价定义容易证明，正规扩张的交也是正规扩张。所有包含E的正规扩张的交被称为 正规闭包 ，对有限扩张容易证明，生成元的最小多项式集合的分裂域便是正规闭包。

前面提到过，F-自同构群是自同构群 的子群，不同的子域F对应于不同的子群。这就提醒我们去研究这两者的关联，但要注意这里有两种关联方法，一种是由F确定伽罗瓦群 ，另一种则是由 的子群 确定一个子域 ，它被称为 G 的固定子域。这两个映射不一定是相同的，至少还需要一些条件，这将是本节的重点。

先来看看这些映射的基本性质，首先比较显然，映射的像的包含关系都和原像的包含关系相反（公式（3），以下将 简写为 。另外也很容易证明，两种映射的复合将原像的范围放大了（公式（4））。对于像这样的复合运算，分别采用和两个视角，结合前面两个包含关系便容易得到复合运算的“消去律”（公式（5））。这些基本性质在下面的讨论中非常重要，你需要熟记于心并不产生混淆。

为了研究自同构子群和子域的关系，我们需要先对它们的特点做进一步研究。先来考察伽罗瓦群 ，它的每个元素是一个F-自同构，群的阶就是自同构的个数。对有限扩域有 ，所有的嵌入都可以拆分为一系列单扩域 的嵌入。之前的结论告诉我们，每个单扩域嵌入的个数 不大于 最小多项式 的次数 ，相等的条件是 没有重根。如果还要求是自同构嵌入，则还要求 的根都在 E 中。

总嵌入的个数自然是 ，伽罗瓦群的个数不大于总嵌入数，相等的条件是E是正规扩域。总结以上讨论便有公式（6）成立，而且等号的成立的一个充分条件是：E 既是正规扩域，又是可离扩域。这种可离正规扩张被称为伽罗瓦扩张，当然我们仅关注有限伽罗瓦扩张。

现在反过来，对E自同构群的有限子群 G，考察 与 的关系。如果 E 对 F 是有限扩张，由公式和容易得到 。对此Artin却给出了截然相反的结论，他证明了 （这时E自然是F的有限扩张），结合这两点则恒有公式（7）成立。证明过程充分利用了扩域和自同构的性质，可以作为一个很好的例题示范，下面就来介绍其大致思路。

设 ，先来考察扩域 E 在 F 上的线性空间的维数，如果维数有限，取 m 大于该维数，则 E 中任何 m 个元素 都是线性相关的。精确一点描述便是，线性方程 在F上总有非零解，现在我们就来证明 时方程有解。为了联系上G，设它的 n 个元素是 ，原方程等价于方程组 在F上有解。由于 ，该方程组在 E 中必定有非零解，我们需要由此构造出 F 上的解。

将任意 作用在方程组上得 ，由于 只是 的一个置换，方程组除了顺序没有发生变化，故 也是是原方程组的解。因为 非零，可设 ，则 也是方程组的解。若 都成立，我们的结论得证。否则设 ，这就是说存在 使得 。由于 也是方程组的根，与 相减便得另一个非零解 ，其中非零的元素个数比 少。这个过程只能进行有限步，最终必定可以得到 F 上的非零解，Artin 定理得证。 　　• K为F的扩域， ，求证： 。

有了公式（6）和（7），现在回来讨论自同构子群和子域的关系，由于公式（6）等号成立的一个充分条件是伽罗瓦扩张，而伽罗瓦扩张不能处处成立，所以我们把研究限定在某个伽罗瓦扩张中。子域F对应一个它的伽罗瓦域 ，反之G又对应到它的固定子域 。现在来比较 和 ，根据公式和分别有 和 ，而公式说明 ，所以有 ，子域和自同构子群在有限伽罗瓦扩张上建立了对应。

若设 的所有中间域 组成集合 ，容易证明 E 对 中的所有元素都是有限伽罗瓦扩张。若设 G 的所有子群构成集合 ，则以上结论则建立了从 到 的单射 ，它满足公式（8）。反之对任何 ，首先有 ，而由公式（6）得 ，所以有 。这就说明了 是满射，从而便是一一映射，所有Σ和Γ之间存在一一映射，满足公式（8）。

根据 的定义，容易有公式（9）成立，其中 表示生成群（域）。另外，由于 , ，则 （后者表示子群的指数）。看到这个式子，你可能会问一个问题：F′ 是伽罗瓦扩域与 G′ 是正规子群之间是不是有什么关联？容易验证，对任何 ， 在映射 中的原像为 。所以 为正规子群的等价条件是 ，即 为正规扩域，再由 显然是分离扩域，故 为正规子群的等价条件是 为伽罗瓦扩域。

　　 　　进一步地，设 ，构造同态映射 ，使得 满足 ，显然同态核为 ，从而 H 与 同构（公式（10））。

正多边形作图同“三大作图难题”一样古老且著名，有时候它们一起并称为“四大作图难题”。首先容易证明，如果 互质且正 边形都可以作出，那么正 边形也可以作出。根据算术基本定理， ，而正 边形很容易作出，所以只需研究正 边形的作图。

高斯在 20 岁时作出了正 17 边形，并给出了正 m 边形可作图的充要条件，这里我们用域的语言重新描述一下论证思路。要想作正 边形，其实就是作出 的根 （式（11））。显然 是 分裂域的生成元，即 。上一节的作图理论中我们知道， 可被作图的充要条件是： 。

由于 E 是一个分裂域，它是伽罗瓦扩张，所以有 。E 的 Q-自同构 由 唯一确定， 只能取 ，其中 。由初等数论的知识， 可取 个数，所以 。首先有 ，再由初等数论的知识，必须有 ，且 为素数。

满足形式（12）的数叫费马数，以上结论就是说 边形可作图的充要条件是： 且 为费马素数。那么 边形可作图的条件就是式子（13），其中 为互异的费马素数。前 5 个费马数恰好是素数，费马当时断言所有费马数都是素数，但至今都还没有找到第6个费马素数。

多项式求根是古代代数的重要内容，早在公元前的古巴比伦，人们就已经掌握了二次的方程的求根。而文艺复兴时期的意大利人，则给出了求解三、四次方程的一般方法和公式，主要的思想都是降次法。对于三次方程，先通过简单的代换 消除二次项（式（14）），然后利用立方和公式的形式特点将 参数化 。由于 可以连续变化，再添加限制条件 ，带入式便将原方程等价于较简单的方程组（15）。

对于四次方程同样使用 消除三次项，然后引入参数 并配方（式（16））。找到合适的 使方程右侧可配方，这样四次方程就降为了二次方程。而配方成立时t满足一个三次方程，上面已经给出了它的求解方法，这样四次方程也成功求解。三、四次方程的完整公式十分复杂，这里就不给出了（也没必要）。

当人们迫不及待地向一般五次方程进军时，却发现无论如何都找不到求解公式。所谓“公式”就是四则运算和开方组成的表达式，为了利用扩域的理论，这里需要为开方定义一种的扩域。设 ，代数闭包中 的任一根记作 ，单扩域 称为根式扩张。多项式的根如果可用“公式”表示，就表示存在一个根式扩张链（式（17）），它们可包含分裂域 E。这样的多项式称为是根式可解的，我们问题就是：什么样的多项式根式求解？

我们先对根式扩张作一些常规讨论，为下面的论证提供有用的工具，以下讨论默认扩域可离，所以分裂域都是伽罗瓦扩域。先来考虑方程 ，它的根称为 次单位根 。在复数域中，所有单位根组成一个循环群，其中的生成元称为 次 本原根 。其实这个结论在一般域中也成立，因为 ，所以我们只需找到 次本原根即可。容易证明 的根就是本原根，这样 的分裂域其实就是 。

伽罗瓦群的每个元素由 唯一确定，且有到 的单同态映射，所以是一个交换群，这样的扩张称为 阿贝尔扩张 。对于 的根 ，易知 也是方程的根。为了同样使用单扩域表示分离域，事先假定 ，故 的分裂域为 。 伽罗瓦群的每个元素由 唯一确定，且有到 的单同态映射，所以是一个循环群，这样的扩张称为 循环扩张 。

把目光专注在根式扩张 上，以上结论说明，当 时 为 p 阶循环群。反之若 为 阶循环群 ，取任一 ，记 ，构造如下 （式（18））。把它们看成是 的方程组，由于范德蒙行列式（参考线性代数）非零，必有某个 。另外可以验证 ，故由伽罗瓦理论知 ，所以 E 为根式扩张。总结以上便是，若 ，则根式扩张等价于 阶循环扩张。

现在就来讨论什么样的多项式是根式可解的，根式可解表示有根式扩张链 。为了用上伽罗瓦理论，可以将其它根都添加到扩张链中，可以假设 K 已经是伽罗瓦扩张。为了使用上面的结论，令所有根数 的最小公倍数为 且 次本原根为 ，将链表中的每个扩域进行单扩张 ，显然 次本原根也在 F 中。新扩张链（式（19））的每一步都是伽罗瓦扩张，根据伽罗瓦理论知所有伽罗瓦群形成一个正规群列。又因为每个伽罗瓦群都是交换群，故 为可解群，所以子群 也是可解群。

反之若 是可解群，取 次本原根 ，由前面的习题知 是 的子群，故也是可解群。根据伽罗瓦理论知存在 到 伽罗瓦扩张链，每个扩张的伽罗瓦群都是素数阶循环群。再由上面的习题知每个伽罗瓦扩张的阶 都是 的因子，故 阶本原根在 中，所以每个扩张为根式扩张。由于 也是根式扩张，故 可由 根式扩张而来，所以方程根式可解。

这就得到了伽罗瓦的天才的结论：多项式有根式解的充要条件是，它的伽罗瓦群为可解群。这个结论可以应用到任何一个具体的多项式，但方程的“公式”解其实是讨论参数化的一般多项式 （式（20）），其中 是不定元。方程的不变域是 ，而我们需要判断 在 的伽罗瓦群是否可解。由于 可由 用基本不等式表示，故分裂域 。

但由于 的值和相互关系是从 得来， 的伽罗瓦群并不好分析。我们更希望 是独立的不变元，为此我们用不定元 建立多项式 （式（21）），其系数 为 的基本不等式（pk不是不定元）。同样可有这个方程的不变域为 ，扩域为 。可以论证（略去）这两个多项式的伽罗瓦群是同构的（式（22）），而后者同构于 （ 为不定元），所以 有 个不同的根。再由于 时， 不是可解群，故 不能公式求解。

到这里关于抽象代数的知识，我们就介绍到这儿了。关于更加高阶的代数学知识就不涉猎了。抽象代数是近代数学的基石，它有着十分广博的内容和无限的智慧，学习它的最终目的，是锻炼我们的 抽象思维 和科学的数学观。带着这样的熏陶去学习别的科目，你会有不一样的高度，对事物的认识不再浮于表面。

一般群论书的伽罗瓦理论部分经常提到 x^n - 1 = 0 有代数解（不是三角解），但好像没证明，到底如何证明的

我不知道你所说的"代数解"和"三角解"的精确定义是什么,请问你的问题是不是 :令 K 是任意的域,那么对于每一个正整数 n , (K 的素域上的) 多项式 X^n - 1 在 K 的某个扩域 K’ 上分裂 ( 即, n 次单位根都在 K’ 中 ) .如果是这个问题的话,答案应该是 "任意一个多项式的分裂域( splitting field )的存在性". 即使是一般的多项式的情况, 证明也很容易.(参考)证明了K的代数闭包的存在性后,可以对于 多项式环 K 的任意一个(不含零的)子集 S 定义 它在域 K 上的分裂域. ------------------------------------------------------------------------------------------明白了,确实N.H.Abel最早证明5次方程的情况时,用的就是"algebraic solution".不过现在好像一般叫做"可用根式解"(solvable by radicals).这里多项式 f(X) 可用根式解的定义中,允许开 n 次方根吧?所以是不是"根据定义显然"呢? 仅供参考. 我只学了一点基础的域论,关于方程的根式解问题不很了解. 另外,如果你一定要一个证明的话,不知下面这个是否可以.定理(Galois)----令 F 为特征零域, K 是 F 上的多项式 f(X) 在 F 上的一个分裂域. 那么: f 可用根式解的一个充要条件是galois群 Gal(K/F) 是可解群. 当 F 是特征p域时,适当修改"根式扩张( radical extension)" 的定义,则与上面定理本质相同的事实仍然成立.定理(关于分圆扩张的)-----设 n 是一个正整数,并且不被域 F 的特征整除 . K 是多项式 X^n -1 在 F 上的一个分裂域. 则 K 可以通过在 F 上添加一个 n 次本原单位根 w 得到: K = F (w) . 此时 K/F 是 galois扩张, 群 Gal(K/F) 同构于 ( 环 Z/nZ 的可逆元乘法群 ) U(Z/nZ) 的某个子群, 从而是abel群.最后,abel群当然是可解的.

伽罗瓦理论（三+）

以上概要仅为表明伽罗瓦所述思想。他的工作是这样进行的：给了一个一般或特殊的方程，他首先说明如何找到这个方程在系数域中的群G，即根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变。必须在不知道根的情况下找到这个方程的群。在上面的例子中，四次方程的群是8阶的，而系数域是R，在找到方程的群G后，下一步是找G的最大子群H，上例中是一个4阶子群，假如有两个或多个最大子群，可任选一个。确定H是纯粹群论的问题，是能够做到的。找到H后，可用一套仅含有理运算的手续来找到根的一个函数Φ，它的系数属于R，且在H的置换下值不变，但在其它置换下值发生变化。在上例中 ，实际上有无穷多个这样的函数，这也要在不知道根的情况下找出。一种方法是构造R中的一个方程，使它的一个根就是函数Φ。这个方程的次数是H在G中的指数，称为部分预解式、在上例中，方程是 ，次数是8/4或2。接着从这个部分预解式解出根Φ，上例中 ，添加到R中得到新域R’，于是可证明，原方程关于域R’的群是H。 重复以上步骤，现在有4阶群H和域R’，下一步找H的最大子群。在上例中是2阶子群，称其为K。能得到原方程的根的一个函数，它的系数属于R’，值在K的每个置换下不变，而在其它置换下变化。上例中构造方程 ，方程次数是K关于H的指数，即4/2或2。这个方程是第二个部分预解式，然后解预解式得到一个根即函数Φ1，把这个值加到R’得到域R’’，原方程关于域R’’的群是K。 再重复以上步骤找K的最大子群L，上例中是恒等置换E。要找根的一个函数（系数在R’’中），值在E下不变，而在其它置换下变化。上例中的函数是x1-x2，为了在不知道根的情况下得到Φ2，必须构造R’’中的一个方程，以函数Φ2为一个根。上例中构造方程 ，方程次数是L关于K的指数2/1或2。这个方程是第三个预解式，必须解方程得到Φ2，把根添加到R’’得到域R’’’。假设这是最后一步，原方程在R’’’中的群是恒等置换E. 接着伽罗瓦证明，当一个方程关于给定域的群恰是E时，那么方程各个根都属于该域，因此根在R’’’中，又因R’’’是由已知域R逐次添加已知量获得，因此知道根所在的这个域。其次有一个用R’’’中有理运算直接找根的步骤。 伽罗瓦给出了一个方法找给定方程的群、逐次的预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群，即原有群的逐次子群，而扩大的系数域是由添加这些逐次的预解式的根到原来的系数域获得的。这些步骤包含了一个可观的理论，但正如伽罗瓦指出的，这不是解方程的实际方法。 之后伽罗瓦把上述理论运用到用有理运算和根式解多项式方程的问题，这里他引入了群论的另一个概念，设H是G的一个子群，如果用G的任一元素g乘H的所有置换，则得到一个新的置换集合gH(表示先g后H)，如果对G中的每个g有gH=Hg，称H为G的一个正规子群（自共轭或不变子群） 伽罗瓦的解方程法要找预解式并求解，他证明当作为约化方程的群（比如由G约化到H）的预解式是一个素数次p的二项方程x^p=A时，则H是G的一个正规子群（且指数为p）；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应预解式是p次二项方程，或能化简为二项方程。如所有逐次预解式都是二项方程，则由高斯关于二项方程的结果，能用根式解原方程，因为能从最初的域逐次添加根式得到根所在的最后的域。反之如果一个方程能用根式求解，则必定存在预解式方程组，且预解式方程都是二项方程。 今天可用根式求解理论大致和上述理论相同，不同的是在子群序列G,H,K,L..,E中，每个群必须是前一个群的极大正规子群（而不是任何较大正规子群的子群），这样的序列叫做合成序列。H对G的指数、K对H的指数等叫做合成序列的指数。若指数都是素数，则方程能用根式求解，若指数不是素数，则不能用根式求解。找极大正规子群时可能有多个选择，可任选一个，虽然由此得到的子群可能不同，但产生的指数集合完全相同（指数出现的次序可能不同，参考Jordan-Holder定理）。如果群G包含一个素数指数的合成序列，则方程可解。 对一般的n次方程，这个群由n个根的全部n!个置换组成，称为n级对称群，它的阶是n！，极大正规子群（也称交错子群）阶为n!//2，这个交错群仅有的正规子群是恒等元素，指数是2或n!/2，对n》4，n!/2不是素数，因此次数大于4的一般方程不能用根式求解。另一方面，二次方程可以借助一个预解式方程解出，合成序列的指数只有1个2。一般的三次方程，需要两个预解式方程，形式为y^2=A和z^3=B，合成序列的指数是2和3。一般的四次方程有四个二项预解式方程，一个三次和三个二次的，合成序列的指数是2.3.2.2。 伽罗瓦对数字系数的方程给出了一个和独立系数为字母的方程相似的理论，基本原理是相同的，不过判定可用根式求解的步骤更复杂。 伽罗瓦还证明了一些特殊定理。如果有一个素数次的不可约方程，其系数在域R中，它的根全部是其中两个根的带有R中系数的有理函数，则方程可用根式求解。并证明了逆定理：每个可用根式求解的素数次的不可约方程，每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理函数。这种方程现在称为伽罗瓦方程，这个概念是对阿贝尔方程的推广，最简单的伽罗瓦方程是x^p-A=0。