地震波的反射和折射: 斯奈尔定理？球面波的反射、透射及折射形成

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• 地震波的反射和折射: 斯奈尔定理
• 球面波的反射、透射及折射形成

地震波的反射和折射: 斯奈尔定理

以上讨论的是地震波在无限或半无限弹性介质中传播的动力学特点。当地震波遇到地下的弹性分界面时，波的动力学特点会进一步发生变化，对地震勘探来说，这有重要的实际意义。

同光线在非均匀介质中传播相似，地震波在遇到弹性分界面时也会产生反射和透射。首先从平面波理论出发讨论波的反射和透射。

1.斯奈尔(Snell)定律

假设界面R将空间分为上、下两部分，上部纵波的传播速度为v₁，下部的速度为v₂(图1-14)。

平面波波前AB以α角投射到界面，当波前上的A点到达界面R上的A’点时，根据惠更斯原理，可以将界面上的A’点看作一个新的震源，由该点产生一个新扰动向介质四周传播。当波前面上B’点经过Δt时间传播到界面R上的Q点时，由A’点新震源发出的扰动在上部介质中亦以速度v₁传播了Δt时间，且在下部介质中按速度v₂传播了Δt时间。从图中简单的几何关系可以看出，在上部介质中产生的新波前为QS，它同入射波波前A’B’

在同一介质内，与波前QS对应的波称为反射波;与此同时在下部介质中产生新波前面QT，称为透射波。如果反射波波前面和透射波波前面与界面R的夹角分别为α’和β，则不难证明它们应满足下列关系式

地震勘探

图1-14 平面波的反射和透射

该式反映了弹性分界面上入射波、反射波和透射波的关系。如果定义α为入射角，α’为反射角，β为透射角，式(1-77)说明入射角等于反射角，而透射角则取决于上下介质的速度比。参数 称为射线参数。式(1-77)就是著名的斯奈尔定律，或称反射—透射定律。如果还有不同类型波(横波)的反射和透射，斯奈尔定律(1-77)式还可以扩展为

地震勘探

式中:α₁、β₁分别表示纵波和横波的反射角;α₂、β₂分别表示纵波和横波的透射角。

在地震勘探中，把与入射波波型相同的反射波或透射波称为同类波，反之称转换波(例如入射波为纵波，则有转换反射横波和转换透射横波)。斯奈尔定律可以用一句话来表述:在界面上，入射波、反射波和折射波的射线参数p值相等。

2.临界角入射

根据透射定律，当v₂《v₁时，透射角α₂小于入射角α₁;然而，当v₂》v₁时，情况就相反，α₂甚至可达90° 这时透射波沿着界面传播。定义α₂=90°时的入射角为临界角i，显然

地震勘探

当入射角大于临界角i时，因为sinα₂不能大于1，所以用实数角度难以满足斯奈尔定律，只有采用复数角(虚数)则可以，这时产生全反射。

球面波的反射、透射及折射形成

对某一平面波而言，是以恒定的α角入射到界面，而球面波入射到平直界面时，入射角α是变化的，因此可将平面波看作球面波中某一入射角的情况，或者可将球面波入射看作不同入射角的平面波情况。首先讨论球面波入射时的折射波形成及传播特点，然后讨论反射及透射波振幅系数随入射角α变化的规律。

1.4.3.1 折射波的形成及传播特点

当球面波入射到界面时，入射角α在0°～90°变化，由斯奈尔定理

地震勘探原理、方法及解释

在V_P1＜V_P2的条件下，透射角β₁随入射角α的增加而增加，随着α的变化，β₁会出现以下3种情况：

1)当α=i_PP，有 ，则有

地震勘探原理、方法及解释

这时透射波在W₂介质中沿界面滑行，波前面垂直界面R，没有透射波在W₂介质中向下传播，称这种现象为全反射，角度i_PP称为临界角。

2)当α＜i_PP时，β₁＜ ，属正常透射情况。

3)当α＞i_PP时，sinβ₁＞1(或β₁＞ )，数学上不成立，但可由

地震勘探原理、方法及解释

给以变换，然后再将该关系代入透射P波位移矢量U_P12，便可得

U_P12=a·B_PPe∓kzmei(ωt-kxsinβ₁)d (1.4-13)

由于cosβ₁为虚数，故B_PP也应为复数，即可写成

B_PP=｜ B_PP｜ eiφ (1.4-14)

得

地震勘探原理、方法及解释

式中： 。

分析(1.4-15)式，可得以下结论：

1)振幅项中因子e-kmz表示振幅随深度z呈指数衰减，因此，此时透射波是在靠近界面的一薄层内传播。

2)传播项因子 中， 表示P₁₂波是以V_P2的速度沿x方向传播，即沿界面传播。传播项因子中+φ表示相位超前φ角。这些说明透射波已变成在介质W₂中沿界面传播的滑行波，而且波前脱离入射波和反射波而产生超前运动。按照波前面为等时面，等时面为封闭面的概念，在两波前脱离带必然有一新的扰动来填补，新扰动波前一端与反射波波前相连，一端与滑行波波前相连，这个新扰动就为折射波，由于它先于反射波到达地面，也称为首波、初至波。折射波的射线为一系列角度为i_PP的平行线。折射波的产生也可用惠更斯原理解释。折射波的产生及射线、波前与反射波的关系可用图1-13表示。

3)折射波产生条件(Ⅰ)：V_P2＞V_P1。因此称折射界面为速度界面。

4)折射波产生条件(Ⅱ)：α≥i_PP，当α＜i_PP时不能产生折射波。如图1-14，接收不到折射波的O—B区为盲区，B点为临界点。

5)当V_P2＞＞V_P1时，i_PP较小，在折射层能量几乎全部返回地面，无能量透射下去，形成屏蔽现象。

6)当V_S2＞V_S1，α≥i_SS时，同样可产生折射横波。

图1-13 折射波形成示意图

图1-14 折射波的射线及盲区示意图

1.4.3.2 球面波反射及透射振幅与入射角的关系曲线

当球面波入射到界面时，入射角由0°可变化到接近90°，除在入射角大于临界角时，透射波变成滑行波并产生折射波外，而其他的反射、透射以及波型转换均仍按平面波中讨论的规律进行。因此对某一固定的入射角，在已知地层弹性参数的情况下，经求解式(1.4-8)，可得各反射及透射波振幅系数，改变入射角依次可计算得各种波振幅随入射角的变化曲线，我们称为**A(amplitude versus angle)曲线。下面以两种不同的地层模型参数的**A曲线，说明几种波振幅随入射角的变化情况。

1)当上层介质为密介质，下层介质为疏介质，即V_P1＞V_P2、ρ₁＞ρ₂。P波从上层介质入射到界面情况。设 =0.5， =0.8，泊松比υ₁=0.3，υ₂=0.5时，振幅系数随入射角α的变化曲线如图1-15。由图中振幅系数曲线的变化规律可见，在α＜20°区段，入射波能量主要分布在非转换波P₁和P₁₂上，转换波P_1S1和P_1S2的振幅很小，α=0°时，P_1S1和P_1S2的振幅为零。在20°＜α＜56°区段，P₁₁、P₁₂的振幅开始下降，P_1S1、P_1S2的振幅上升，甚至P_1S1和P_1S2的幅值大于P₁₁的幅值。在56°＜α＜68°区段P₁₂继续下降，P₁₁开始上升，反射横波P_1S1仍大于反射纵波P₁₁的幅值，在α＞68°区段，P₁₂急剧下降，P₁₁很快上升，该段称为广角反射。横波能量逐渐下降。以上曲线说明，反射波振幅随入射角的变化是有规律的，在生产中接收什么样的反射波，要在不同区段去接收，才能接收到最强的有效信号。当然请注意，不同类型的地质模型，**A曲线变化规律是不一样的，利用这一点也可以由**A曲线反演地层参数。

图1-15 模型(Ⅰ)**A曲线

2)当上层介质为疏介质，下层介质为密介质，即V_P2＞V_P1。P波从上层介质入射到界面情况。设 =2.0， =0.5，泊松比υ₁=0.3，υ₂=0.25时，各波振幅系数曲线随入射角α的变化曲线如图1-16。由图可见，在α＜10°时，能量分在P₁₂上，无反射P₁₁，也无P_1S1和P_1S2。随着α增大，P₁₂能量下降，P_1S2能量上升。在α=30°时，P₁₂能量下降为零，P₁₁出现，P_1S1、P_1S2上升。α=30°为P波临界角。当α＞30°时，P₁₁上升，P_1S1、P_1S2下降。当α=60°时，P_1S2下降为零，而P_1S1开始上升，α=60°为S波临界角。比较图1-15和图1-16可见，不同地质模型的**A曲线变化相当大，这一点也说明了**A曲线的复杂性。

图1-16 模型(Ⅱ)**A曲线

在描述以上两个地质模型时，两个主要地层参数就是速度V和密度ρ，通过理论模型计算可知，引起**A曲线剧烈变化主要是速度参数V，而密度ρ的变化对**A曲线的影响相对速度V对**A曲线的影响小得多。