数论四大定理？威尔逊定理逆定理成立么

本文目录

• 数论四大定理
• 威尔逊定理逆定理成立么
• 威尔逊定理如何证明
• 求解威尔逊定理的证明
• 初等数论四大定理分别是什么
• 请问 博弈论 中,威尔逊奇数定理 的内容是什么,在哪本书上有介绍
• 合数的定义

数论四大定理

威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理（中国剩余定理）、费马小定理并称数论四大定理。

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。

透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。

初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。

数论 （数学分支）

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数。

按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。

高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。

威尔逊定理逆定理成立么

1 定义 对整数a＞1，满足an≡a(modn)的合数n称为底为a的伪素数． 定理2．3 对每一个整数a＞1，有无限多个底为a的伪素数． 底为a的伪素数．我们有(a2－1)(n－1)=a2p－a2=a·(ap-1－1)(ap＋a)．由于ap与a的奇偶性相同，故2|ap＋a；又由费马小定理和pa得p|ap-1－1；由于p是奇数，则a2－1整除ap-1－1；而pa2－1，故有p(a2－1)|ap-1－1．因此，2p(a2－1)|(a2－1)(n－1)即2p|n－1．令n=1 ＋2pm。现在有a2p=n·(a2－1)＋1≡1(modn)．故an-1=a2pm≡1m=1(modn)．即an≡a(modn)，因此n是底为a的伪素数．由于对每个a＞1，满足p多个．因此，以a为底的伪素数有无限多个． 虽然底为2的伪素数有无限多个，但是，它们相对于素数而言是相当少的，隆德大学的波赫曼证明了小于1010×2的素数有882206716个，而塞尔弗来季和瓦格斯塔夫计算出底为2的伪素数在1到2×1010之间只有19865个．因此，在大多数情况下，我们的断言“如果2n≡2(modn)，则n是素数．”是正确的，用这个断言作素性判别，出错的概率很小，例如在n＜2×1010的范围内，出错的概率小于19865／(882206716 ＋19865)≈0.0000025．不过，这样的结果，在实际用来作素性判别时，用处不大，尽管它出错的概率很小，但它毕竟是会出错的．而且，对于特定的一个n，用上面的断言去判别它的素性，就不能排除错误就在此出现．(对于其它底a，可以作同样讨论．) 令人惊奇的是，存在这样的合数n，对任意的满足(a，n)=1的a＞1，n都是底为a的伪素数．这样的合数的存在是费马小定理的逆命题不成立的最合适的例证．因为它说明，即使对所有满足(a，n)=1的a有an-1≡1(modn)，仍不能断定n是素数．这样的合数是由卡米歇尔首先发现的，故叫卡米歇尔数． 例561是卡米歇尔数．这是卡米歇尔发现的第一个卡米歇尔数，也是最小的卡米歇尔数． 因为561=3×11×17，若***(a，561)=1， 则***(a，3)=***(a，11)=***(a，17)=1， 由费马小定理知，a2≡1(mod3)，a10≡1(mod11)，a16≡1(mod17)． 由于Lcm(2，10，16)=80， 故a80≡1(mod3)，a80≡1(mod11)，a80≡1(mod17)， 即得a80≡1(mod561)，故a500≡(a80)7≡17=1(mod561)． 所以561是卡米歇尔数． 一般地，我们有下面的定理． 定理2．4 (卡米歇尔)n是卡米歇尔数的充分必要条件是：i)n无平方因子；ii)n的每一个素因子p有p－1|n－1；iii)n是奇数且至少有三个不同的素因子． 证明 先证明充分性．设n满足条件i)， ii)， iii)，令n=p1p2…pk(k≥3)，p1，p2，…，pk是互不相同的奇素数． 现对任意的a＞1，若(a，n)=1，则(a，pi)=1， 由费马小定理得api-1≡1(mod pi)，i=1，2，…，k，而由条件ii)， 有Lcm(p1－1，p2－1，…，pk－1)|n－1，故得an-1≡1(modpi)(i=1，2，…，k)， 因而an-1≡1(modn)． 故n是卡米歇尔数． i=1，…，k．先证明n是奇数． 若n是偶数且含有一个奇素因子p． 这时，取a是p的奇原根， 由an-1≡1(modn)得an-1≡1(modp)． 因此，p－1|n－1，但p－1为偶数而n－1为奇数，这是不可能的． 又若n=2t，t＞1，取a=3，则(3，n)=1．1(mod2t)． 否则，，则， 但假设不符．故n必是奇数， 因而pi是奇素数，i=1，…，k．令gi是模piui的原根，i=1，…，k． 由中国剩余定理，可求 得a使a≡gi(modpiui)(i=1，…，k)．故***(a，n)=1． 因为n是卡米歇尔数，则an-1≡1(modn)，即有，an-1≡1(modpiui)，另一方面an-1≡gin-1(mod piui)，故有gin-1≡1(modpiui)．由原根的定义得φ(piui)|n－1，即是piui-1(pi－1)|n－1，i=1，…，k．而n－1=plu1…pkuk－1，故ui=1，i=1，…，k，因此，条件i)证得．又pi－1|n－1，i=1，…，k，即条件ii)证得．对iii)，若k＜3，由n是合数，则k=2，则有n=p1·p2(p1≠p2)，由于p1－1|p1p2－1，而p1p2－1=(p1－1)p2＋p2－1，故得p1－1|p2－1，同理可得，p2－1|p1－1，由此可得p1－1=p2－1，即p1=p2，这与假设不符，因而k≥3，即iii)证得． □ 例 由定理2.4可得2821=7·13·31，10585=5·29·73，27845=5·17·29·23，172081=7·13·31·61都是卡米歇尔数． 由于发现了卡米歇尔数，人们认识到利用费马小定理来作素性判别，不是件简单的事情．假如卡米歇尔数只有有限个，则可以给出一个上界M，这样，在n＞M的范围内对n作素性判别就变得容易起来．然而，卡米歇尔数可能有无限多个，这只是一个猜想，至今无人给出证明，但人们大都认为这个结果是正确的． 3．素性判别与广义黎曼猜想 1976年，缪内发现了素性判别与广义黎曼猜想(见附录)的一个深刻的关系．他得到的结果是：如果广义黎曼猜想(REH)成立，则有一个算法存在，它对每个n，可在log2n的多项式时间内判明n是否素数．即存在素性判别的多项式算法，而且可设计出这个算法． 这个关系的发现，也是以研究费马小定理为出发点的．下面熟知的欧拉的结果是费马小定理的推广． 定理2.11 若n是一个奇素数，则对任意的自然数a，na有 1976年初，勒默发表了一篇短小精悍的文章，证明了定理1的逆定理也成立，他得到了． 定理2.12 (勒默) 若n是奇合数，则存在自然数a，满足(a， 证明 若n含有因子pα，p是奇素数，α＞1．取a为pα的原根， 若n=p1p2…Pt，t≥2，P1，P2，…，Pt为互不相同的奇素数．由 即2≡0(modp2)，但p2是奇素数．这是不可能的．故必有a使(a， 尽管勒默的这个结果说明了，若n是合数，则在1到n之间到少存 也没有指明a在何处．对某个数n，当然，我们可以对1到n之间的每 这个计算量太大了．因此，我们希望能够改进勒默的这个结果．如果对 时只要对较少的a检验．这样就可望得出较有效的素性判别法． 缪内注意到，给定一个数n，在n的缩系组成的群Un={a(modn) 全体构成一个子群，设其为Mn．于是就可以利用下面的安克尼和蒙特哥梅利的结果． 定理2.13 (安—蒙)在广义黎曼猜想(REH)成立的条件下．存在一个常数C，对任何自然数n及Un到任何一个群G的非单位同态ψ，都存在q使1＜q≤C(log2n)2且ψ(qmodn)≠1(其中1是G的单位元)． 由此，缪内得到了下面的结果： 定理2.14 (缪内)在广义黎曼猜想的成立之前提下，存在一个常数C，对任何的自然数n，若n是合数，则存在1≤a≤C(logn)2 Un到Un的同态映射．因为n是合数，由定理2.12知，ψ不是单位同态映射．因此，由定理2.13，存在a使1＜a≤C(log2n)2使ψ(amodn) 注 定理2.14中的常数C可取作与定理2.13中的C相同． 维路于1978年指出，定理2.14中的常数C可以定为70． 由定理2.14，我们说，在广义黎曼猜想成立的前提下，素数判别的多项式算法是存在的．我们可以如下设计出这样一个算法： (modn)是否成立．若对其中的一个a成立，则停止检验，这时n是合数(由定理2.11)，若对每一个a都不成立，也就是说，对a=1，2，…， 上述算法可以完全确定地判别n是否素数， 其计算量就是作70 即工作量是O(log25)，因而这是一个多项式算法． 由此可见，只要广义黎曼猜想成立，则素性判别的多项式算法是找到了的．但证明广义黎曼猜想是相当困难的，这是数学家们一直关注的问题．这里的讨论也表明，素性判别是需要用较高深的方法来研究． 本文来自CSDN博客，转载请标明出处： 记得采纳啊

威尔逊定理如何证明

设A={2,3,4,...,p-2}，从中任取一个元素a，要证明A中还存在元素b使得ab=1(mod p)。这个b必须不等于1或者p-1或者a本身，而且对于不同的a这个b也要不一样，我们先证明这样的b是存在的。不如让a去乘以所有 A的元素(加上另外两个也就是1和p-1)形成一个新的集合B={a,2a,3a,...,(p-1)a}这个集合内的数除以p的余数都是不相同的，因为p是质数且a假如b=1那么ab=a除以p后余a而a是A 中的元素即a不等于1，故b不等于1；假如b=p-1，则ab=(p-1)a=pa-a,除以p后余a，同样由于a不等于1，所以b不能等于p-1；假如b=a，则ab=a^2，若a^2除以p余1的话那么a^2-1能被p整除，a^2-1=(a+1)(a-1)由于a是A中的元素，所以a-1也是a中的元素(a不等于1)所以a-1和p互质最小公倍数为(a-1)p，而1《(a-1)p所以不能被p整除，与前述矛盾，所以b不等于a。综上，b是A中不同于a的元素假如有两个A中的元素a1，a2不相同，却有相同的b使得ba1和ba2除以p后余数都为1，那么|a1-a2|b能被p整除，但是与上面同理|a1-a2|b综上所述，对于任意质数p，{2,3,4,...,p-2}中的数都可以两两配对乘积使得除以p后的余数等于1，所以2*3*4*...*（p-2）的除以p的余数为1，而1*（p-1）除以p的余数为-1，所以(p-1)!除以p的余数为-1。所以(p-1)!+1能被p整除。

求解威尔逊定理的证明

判定一个自然数是否为素数的充要条件。即：当且仅当p为素数时： (p-1)!恒等于-1(mod p) 但由于阶乘是呈**增长的，其结论对于实际操作完却没有益处。 : 取集合A={1,2,3,...,p-1};则A构成模p乘法的缩系，即任意i属于A,存在j属于A,使得： (ij)恒等于1(mod p) 那么A中的元素不是恰好两两配对呢？不一定，但只需考虑这种情况： x的平方 恒等于 1(mod p); 解得：x恒等于1(mod p) 或 x恒等于p-1(mod p) 其余两两配对；所以 (p-1)!恒等于1(p-1)恒等于-1(mod p) 。

初等数论四大定理分别是什么

初等数论四大定理分别是：威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理威尔逊定理：当且仅当p为素数时，有：(p-1)!≡-1(mod p)百度百科链接：希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！

请问 博弈论 中,威尔逊奇数定理 的内容是什么,在哪本书上有介绍

简单来说就是 威尔逊定理 若p为质数,则p可整除(p-1)!+1. 证明如下 【结论1】 对于偶质数2,命题显然成立；【（2－1）!+1=2】 【结论2】【对于p＝3,命题显然成立；（3－1）!＋1＝3】 对于奇质数,令a∈A={2,3,4.p-2},则B={a,2a,3a,.,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除,而a|α-β|∈B,B中的元素不可能被p除尽.于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}. 假设B中被p除余一的数是γa: 一若γ=1,则γa=a,它被p除余a,所以γ=1不成立； 二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余a,所以γ=p-1不成立； 三若γ=a,则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p),故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾,故不成立； 有一二三知γ≠a且a∈A. a不同时,γ也相异；若a1≠a2,a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p）,因,γa1,γa2∈B,而B中的元素关于mod p不同余,可见a1≠a2,则γ1≠γ2. 即每一个a均可找到与其配对的y使其ay≡1(mod p) ∴ 1×2×3×4.(p-2)≡1(mod p) p-1≡-1(mod p) ∴ (p-1)!≡-1(mod p) 从而p可整除(p-1)!+1 在一些专门的数学类的书籍上能找到相关的内容

合数的定义

合数是指在大于1的整数中，除了能被1和它本身整除外，还能被其它数整除的数。与合数相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个有两个质因数的合数称为半质数，有三个质因数的合数则称为楔形数。亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。

合数的性质：

1、所有大于2的偶数都是合数。

2、所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。

3、除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。

4、所有个位为4，6，8的自然数都是合数。

5、最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。

6、每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。