三阶龙格库塔优点？龙格——库塔（Rungekutta）法求解常微分方程

本文目录

• 三阶龙格库塔优点
• 龙格——库塔（Rungekutta）法求解常微分方程
• 龙格库塔法的整体截断误差是什么
• 四阶龙格库塔法公式是隐式欧拉法吗
• 龙格库塔法解微分方程组
• n阶龙格库塔公式都是唯一的吗
• 龙格库塔法的缺点
• 欧拉法与龙格库塔法的稳定性比较
• 龙格库塔的文字介绍

三阶龙格库塔优点

龙格库塔法优点是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。1、三阶龙格库塔的精度比欧拉法较高。2、具有自动起步和便于改变步长的优点。

龙格——库塔（Rungekutta）法求解常微分方程

对于微分方程 通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式 在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。 令 初值问题 表述如下。 则，对于该问题的RK4由如下方程给出： 其中 这样，下一个值（ y n +1 ）由现在的值（ y n ）加上时间间隔（ h ）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均： 当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值： RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是 h 阶 ，而总积累误差为 h 阶。 注意上述公式对于标量或者向量函数（ y 可以是向量）都适用。 显式龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出 其中 （注意：上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义）。 要给定一个特定的方法，必须提供整数 s （级数），以及系数 a ij （对于1 ≤ j 《 i ≤ s ）, b i （对于 i = 1, 2, ..., s ）和 c i （对于 i = 2, 3, ..., s ）。 龙格库塔法是自洽的，如果 如果要求方法的精度为 p 阶，即截断误差为O( h )的，则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求 b 1 + b 2 = 1, b 2 c 2 = 1/2, 以及 b 2 a 21 = 1/2。 RK4法处于这个框架之内。其表为： 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1 0 0 1 _ 1/6 1/3 1/3 1/6 然而，最简单的龙格-库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式为 。这是唯一自洽的一级显式龙格库塔方法。相应的表为： 0 _ 1 以上提及的显式龙格库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格库塔方法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格库塔方法的这种**使得人们开始研究隐式龙格库塔方法，一般而言，隐式龙格库塔方法具有以下形式： 其中 在显式龙格库塔方法的框架里，定义参数 的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格库塔方法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别： 需要注意的是，与显式龙格库塔方法不同，隐式龙格库塔方法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组，这相应的增加了计算的成本。

龙格库塔法的整体截断误差是什么

龙格库塔法的整体截断误差是O(h)。龙格库塔法是自洽的，如果如果要求方法的精度为p阶，即截断误差为O(h)的，则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。

四阶龙格库塔法公式是隐式欧拉法吗

四阶龙格库塔法公式是隐式欧拉法。根据查询网上相关公开信息显示隐式欧拉法是四阶方法也是四阶龙格库塔法，就是说每步的误差是h阶，而总积累误差为h阶，注意上述公式对于标量或者向量函数。

龙格库塔法解微分方程组

• 龙格-库塔（R-K）法的写法：就是不断调用微分方程组，迭代计算出对于K1,K2，...，最后再叠加。需要注意的是高阶微分方程，其原函数的导数也是通过迭代计算得到的

• 在此归纳了其套用 R-K 法的一般套路：3个函数、3个步骤——这也是MATLAB自带的求解方法的步骤

• 三个函数：

• Fun函数——用于存放一阶微分方程组

• RK函数——用于使用几阶的R-K法求数值解，上边我只写了 4阶R-K法

• 赋初值函数——只是单纯的写 x的范围，步长h，矩阵y的阶数，原函数的各个初值；以及调用 RK函数

• 三个步骤：

• 赋初值：写 x的范围，步长h，矩阵y的阶数，原函数的各个初值

• 将高阶微分方程 拆分成 一阶微分方程组

• 修改 Fun 函数：注意——向量dy的长度，和高阶微分方程的阶次有关

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n阶龙格库塔公式都是唯一的吗

n阶龙格库塔公式不是唯一的。n阶龙格库塔法公式是不具备唯一性的，是有多样性的，n龙格库塔公式是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。

龙格库塔法的缺点

精度低。龙格库塔法是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。该技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。但是其中缺点为精度低，龙格库塔方法是一种在工程上应用广泛的单步算法，其中包括著名的欧拉法，用于数值求解微分方程。采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。

欧拉法与龙格库塔法的稳定性比较

龙格库塔方法稳定性高。1、欧拉法是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。2、龙格库塔方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，因此其实现原理也较复杂。

龙格库塔的文字介绍

龙格-库塔（Runge-Kutta）法 到目前为止，我们已经学习了多步法，例如：亚当斯-巴什福思（Adams-Bashorth）法，亚当斯-莫尔顿（Adams-Monlton）法，都是常微分方程的积分方法。它们需要在每一次迭代时重新计算一遍等式右边的结果（非线性隐含问题忽略计算多个 f (ω)值的可能性） 龙格-库塔（Runge-Kutta）法是一种不同的处理，作为多级方法为人们所知。它要求对于一个简单的校正计算多个 f 的值。 下面，我们列出了 3 种最流行的龙格-库塔（Runge-Kutta）法：改进的欧拉方法（精度：p=2）： V a = V n + Δtf (V n,tn) 2 Δt)二阶格式 V n+1 = V n +Δtf (V a,tn + 2Hevn’s 方法（p=2）：这是另一种二阶格式： V a = V n +Δtf (V n,tn) V n = V n + +1 Δt 2注意： f (Vn,tn)在运算中应该只被计算一次。四次龙格-库塔（Runge-Kutta）法（p=4）：这是一个 4 阶格式。这次我们写的形式有点不同： a = Δtf (V n,tn) b = Δtf (V n + 1 a,tn + 1 2 2 Δt) c = Δtf (V n + 1 b,tn + Δt) 1 2 2 d = Δtf (V n + c,tn +Δt) V n =V n + +1 1 (a +2b +2c +d)。 6