图拉普拉斯算子（图像处理之拉普拉斯算子的详细推导过程）

本文目录

• 图像处理之拉普拉斯算子的详细推导过程
• 图信号与图的拉普拉斯矩阵
• 拉普拉斯算子
• 高斯拉普拉斯算子LOG
• 拉谱拉斯运算是怎么回事
• 拉普拉斯算子的物理意义是什么
• 拉普拉斯算子为何能增强图像的边缘
• 什么是拉普拉斯算子
• 拉普拉斯算子主要用于

图像处理之拉普拉斯算子的详细推导过程

看了好多帖子，都没有详细简明的推导过程，所以在这里写一下（前提了解导数的极限定义和图像的结构）： 然后按照结果中每个点的权值变成卷积核：

图信号与图的拉普拉斯矩阵

图信号处理室离散信息处理理论在图信号领域应用，通过对傅里叶变换、滤波等信号处理基本概念的迁移研究对图信号的压缩、变换、重构等信号处理的基础任务。 给定图G=(V,E)，V表示图中节点集合,图信号是一种描述V-》R的映射，表示成向量形成x=T，xi表示节点vi上的信号强度。 与离散信号不同，图信号是定在节点上的信号，节点与节点之间固有关联结构。 拉普拉斯矩阵是用来研究图结构性质的核心对象，定义如下L=D-A。A是邻接矩阵，是否与邻居相连，自相连为0，不是邻居的为0。D是一个对角矩阵，表示节点的度，如果i=j则为度，如果ij属于边为-1，否则为0。正则化表示为 ，如果i=j为1， 属于边为 ,否则为0。 拉普拉斯算子是n维欧式空间中的一个二阶算子，如果将算子退化到离散二维图像空间，变成了边缘检测算子。拉普拉斯算子描述与中心像素与局部上下左右四邻居像素的差异，这个性质可以用作图像上边缘检测算子。在图信号中，拉普拉斯算子也被用来描述中心节点与邻居节点之间的信号差异。定义非常重要的二次型， ，图信号的总变差，标量将各条边上新信号的差值进行嘉禾，刻画了图信号整体上的平滑度。 傅里叶变换是数据信号处理的基石，将信号从时域空间转换到频域空间，频域视角给信号处理带来了极大的便利，围绕傅里叶变换，信号的滤波、压缩、卷积等操作都有了完备的理论定义，为一些实际的工程应用，如信号去躁、压缩、重构等任务提供了理论指导。 假设图G的拉普拉斯矩阵 ,由于L是一个实对称矩阵，根据实对称矩阵都可以被正交化，可得 ,V是一个正交矩阵 ，特征向量为彼此之间线性无关的单位向量。 表示第k个特征向量对应的特征值，对特征值进行降序排列 。 对于给定的向量x,拉普拉斯的二次型 ，拉普拉斯是一个半正定矩阵，其所有的特征值都大于等于0，且存在上限 图傅里叶变换对于任意一个在图G上的信号x,图傅里叶变换为特征向量为傅里叶基， 是x在第k个傅里叶基上的傅里叶系数，傅里叶基系数本质上是图信号在傅里叶基上的投影，衡量了图信号与傅里叶基之间的相似度，V是正交矩阵，矩阵形式为 ,左式乘V，则 于是我们可以用矩阵形式逆傅里叶变换 ，从线性代数角度，V组成了完备基向量，图G上任意一个图信号可以被表征为这些基向量的线性加权。 特征值等价为频率，特征值越低，频率越低，对应的傅里叶变化越缓慢，相似节点上的信号值趋于一致；特征值越高，频率越高，对应傅里叶变化得越剧烈，相近节点上的信号值高度不一致。 定义好图傅里叶变换后，从频域视角去研究图信号，图信号所有的傅里叶系数合在一起称为该信号的频谱。在一个给定的图中，图信号的频谱等价于一种身份，运用逆傅里叶变换，完整推导出空域中的图信号。

拉普拉斯算子

《计算机视觉教程》笔记 编著：章毓晋（清华大学电子工程系） 出版社：人民邮电出版社 出版时间：2017.3

  由图4.1.1可见，利用二阶导数的过零点可以确定边缘的位置，所以二阶导数算子也可用于检测边缘。用二阶导数算子检测阶梯状边缘需将算子模板与图像卷积，并确定算子输出值的过零点。

   拉普拉斯算子 是一种常用的二阶导数算子，对一个连续函数f（x，y），它在位置（x，y）的拉普拉斯值定义为

  常用的两种简单模板分别如图4.1.8（a）和（b）所示，它们均满足以上的条件。

  由于以上原因，拉普拉斯算子很少直接用于检测边缘，而主要用于已知边缘像素后确定该像素是在图像的暗区或明区一边。

高斯拉普拉斯算子LOG

高斯拉普拉斯算子（LOG，Laplacian of Gaussian）常用于边缘/角点检测。其原理是利用拉普拉斯算子识别图像中灰度值变化速度极大值点，利用高斯核平滑图像、以降低拉普拉斯算子对噪声敏感带来的问题。 所以，LOG是由高斯函数和拉普拉斯算子组成的。以下将介绍 1）高斯函数 2）拉普拉斯算子 3）二者结合的必要性 4）LOG的平替 高斯函数卷积核与图像进行卷积，目的是为了 平滑图像 ，这个卷积过程也常被成为【高斯平滑】。实质是 以高斯函数的积分值作为权重对卷积区域的点进行加权求和 ，卷积区域的中心点对应的权重对应高斯函数对称轴附件区域的积分值，权重最高。所以此平滑方法能够有效地刻画【边缘效应】。 高斯函数公式： 其中， 为标准差，其值越大，平滑程度越大 。可以根据高斯函数曲线去理解，标准差越大，曲线越矮胖，邻域像素值的权重也就越大。 如何确定高斯核的大小呢？研究表明，距离中心点 范围外的点一般作用很小，所以 高斯核尺寸通常为 。 拉普拉斯算子是对图像 求两个方向的二阶导数之和 ，其中 为图像像素的灰度值 。 求导，可以获得局部区域的灰度值变化幅度，从而检测出边缘/角点。至于为什么求二阶导而不是一阶导，是因为一阶导之后求的是极值，二阶导之后求的是零点，零点比极值更方便获得。 首先， 求导使计算对噪点变得很敏感 ，需要在求导之前先进行图像平滑。 其次，先对图像进行高斯卷积，再进行拉普拉斯算子卷积，两次卷积会产生较大计算量。而根据卷积运算的结合律，可以先计算高斯函数与拉普拉斯算子，形成一个卷积核，然后对图像进行一次卷积，大大 减小计算量 。 我们常用DOG（Difference of Gaussian）来近似LOG，这是将两个大小不同的高斯核与图像分别卷积后进行差分，可以产生一种LOG的平方近似。在 计算速度上有较大的提高 。参考文献 http://jgwu.top/blogs/Laplacian-of-Gaussian-LOG-%E9%AB%98%E6%96%AF%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%AE%97%E5%AD%90/ 

拉谱拉斯运算是怎么回事

拉普拉斯算子为 如果图像的模糊是由扩散现象引起的,则锐化后的图像g为 式中：f、g分别为锐化前后的图像，k为与扩散效应有关的系数。k的选择要合理，太大会使图像中的轮廓边缘产生过冲；k太小，锐化不明显。� 对数字图像来讲，f(x, y)的二阶偏导数可表示为� 　 　 拉普拉斯算子为 　 　 当k=1时，拉普拉斯锐化后的图像为 　 从上式可以看出，拉普拉斯锐化的模板为： 　 部分VB程序如下：For j = 1 To h - 2 For i = 1 To w - 2 g(i,j) = 5 * f(i, j ) - f(i + 1, j ) - f(i - 1, j ) - f(i, j + 1 ) - f(i, j – 1 ) If g(i,j) 《 0 Then g(i,j) = 0 Picture2.PSet (i, j), RGB(g(i,j), g(i,j), g(i,j))

拉普拉斯算子的物理意义是什么

意义为一个场变量的梯度的散度。

拉普拉斯算子从形式上看表示，一个场变量的梯度的散度。散度的概念为很清晰的，从高斯方程应用到静电场领域可以知道，散度可以表示一个矢量在单位空间内产生通量的强度，静电场中因为一个封闭的曲面内部有静电荷，那么这个封闭曲面包围的三维体积内部的电场强度E的散度≠0，假如曲面内无静电荷，那么通过这个闭合曲面的电场强度通量=0。

拉普拉斯把注意力主要集中在天体力学的研究上面。9把牛顿的万有引力定律应用到整个太阳系，1773年解决了一个当时著名的难题：解释木星轨道为什么在不断地收缩，而同时土星的轨道又在不断地膨胀。拉普拉斯用数学方法证明行星平均运动的不变性，即行星的轨道大小只有周期性变化，并证明为偏心率和倾角的3次幂。这就为著名的拉普拉斯定理。

这个闭合曲面内部的电场强度E的散度也为零，散度标志研究的区域是否为有源场或者为无源场。梯度的定义式为场变量f(x,y,z..)对各自坐标的偏微分，构成的矢量。沿着这个矢量方向为场变量f变化最快的方向。拉普拉斯算子表示梯度场的散度，显然该算子为研究梯度场的相关性质，简单的一个应用，梯度场沿闭合曲面的积分=梯度场的散度在闭合曲面所围体积内的积分。

扩展资料：

拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。拉普拉斯在数学上为一个大师，在政治上为一个小人物、墙头草，总是效忠于得势的一边，被人看不起，拿破仑曾讥笑他把无穷小量精神带到内阁里。在席卷法国的政治变动中，包括拿破仑的兴起和衰落，没有显著地打断其工作。

拉普拉斯生于法国诺曼底的博蒙，父亲为一个农场主，从青年时期就显示出卓越的数学才能，18岁时离家赴巴黎，决定从事数学工作。于是带着一封推荐信去找当时法国著名学者达朗贝尔，但被后者拒绝接见。拉普拉斯就寄去一篇力学方面的论文给达朗贝尔。这篇论文出色至极，以至达朗贝尔忽然高兴得要当其教父，并使拉普拉斯被推荐到军事学校教书。

拉普拉斯算子为何能增强图像的边缘

1图像锐化1.1图像锐化的概念在图像增强过程中,通常利用各类图像平滑算法消除噪声,图像的常见噪声主要有加性噪声、乘性噪声和量化噪声等。一般来说,图像的能量主要集中在其低频部分,噪声所在的频段主要在高频段,同时图像边缘信息也主要集中在其高频部分。拉普拉斯算子是一种二阶微分算子。一个连续的二元函数f(x,y),其拉普拉斯运算定义为2f=2f x2+2f

什么是拉普拉斯算子

提出将高斯拉普拉斯算子应用在光电联合相关变换器中进行谱面图像的增强处理。光电混合联合变换器可实现对目标的实时探测、识别及自动定位,但由于实际中采集到的图像的对比度较低,且存在大量背景噪音,影响了目标的识别率。根据高斯拉普拉斯变换对高斯噪声不敏感的特性,结合了自适应阈值、边界跟踪和细化技术,对图像噪声进行滤波的同时,对图像进行了增强处理,这样最大限度地保留了光谱图像的细节信息,提高了光电联合相关系统的目标识别率

拉普拉斯算子主要用于

已知边缘像素后确定该像素在图像的明区或暗区。拉普拉斯矩阵(Laplacianmatrix)也叫做导纳矩阵、基尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯算子，主要应用在图论中，作为一个图的矩阵表示。