罗德里格斯变换（欧拉角变换需要哪四个参数）
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欧拉角变换需要哪四个参数
一些前导数学知识： 矩阵的迹 ，一个n×n矩阵 的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和，记作 矩阵的特征向量 ，从数学上看，如果向量 与变换 满足 ，则称向量 是变换 的一个 特征向量 ， 是相应的 特征值 。这一等式被称作“ 特征值方程 ”。 这是一个很重要的线性代数概念，需要更多的理解，切记。 正交矩阵 ： ，即 ， 为正交矩阵。 旋转矩阵 即三维刚体发生旋转变换时的 位姿 （位姿，物体位置及朝向）变化的数学线性表示方式，符号 ，其为正交矩阵。 轴角 即旋转变化时的轴与角，轴用向量 表示，角 ，即旋转向量 ， 表示与旋转轴同方向的单位向量，旋转角 表示其长度 欧拉角 即将轴角形式分离成三个轴上的旋转变换角形式 四元数 一种扩展复数形式，符号 ，数学形式： 其中 四者之间的一些转换关系： （1）旋转矩阵与轴角间的变换： 表示向量到反对称矩阵的转换， 表示矩阵的 迹 ， 第一个式子即罗德里格斯公式，轴角到旋转矩阵的转换； 第二个式子即表明角到旋转矩阵R的转换； 第三个式子中即轴经过旋转后不变，转轴 时矩阵 特征值1对应的特征向量。 （2）旋转向量与四元数的变换： （3）旋转矩阵到四元数的变换，四元数自身的一些基本运算规则，此处省略，参见书中P52-P55内容。
证明罗德里格斯公式和四元数旋转等效
证明旋转矩阵是正交矩阵。 答：首选明白旋转矩阵如何定义。旋转矩阵是描述同一个点在不同基坐标系下的坐标变换，两个坐标系统的基分别是； 那么坐标的变换关系是：； 正交矩阵是指AT*A = E。只要旋转矩阵满足RT*R=E就可以证明。RT*R= = E 根据矩阵的结合率，很明显上式成立，所以旋转矩阵是一个正交矩阵。 证明罗德里格斯公式。 答：罗德里格斯公式描述了：旋转矩阵和旋转向里之间的关系。变换的结果是： R = I + (1 - ) n nT + n^. 这里旋转矩阵是R；旋转向量是 n， 角度表示旋转角度，n表示旋转轴的当位向量。 这里的证明思路是，在图上画一个三维向量p, 确立一个旋转轴n, 和一个旋转角度 ，经过旋转之后三维向量p变为旋转向量prot, 这时两个向量之间的关系可以写成prot = R p。所以只要找到prot和p之间的关系就可以了。找关系的思路是，把prot在垂直和水平方向上进行分解，水平方向上再进行分解成(p-(p.n)n) cos +p n. sin . 垂直方向上分解成：（p.n）n。于是可以写出prot = (p.n)n + (p-(p.n)n) cos +p n sin 。根据点乘的交换率可以(p.n)n= n(p.n)= n(nT.p)= n.nT.p. 所以prot = p. 于是，可以证明R = cos I + (1-cos )n.nT + sin .n^。（其中n^表示叉乘的反对称矩阵）验证四元数旋转某个点之后，结果是一个虚四元数（实部为零），所以仍然对应到一个三维空间点。即证明下面的式子：p’ = qp.invert(q)。其中p是一个三维空间点用实部为零的四元数来表示p = 。 答：
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