达朗贝尔审敛法（高数，求幂级数收敛半径）

本文目录

• 高数，求幂级数收敛半径
• 达朗贝尔审敛法为什么比值必须求极限直接Un+1/Un<1就不行（在线等有加分）
• 达朗贝尔审敛法为什么不适用于调和级数
• 比值审敛法是什么啊
• 比值审敛法
• 比值审敛法是什么
• 收敛半径怎么求公式是什么
• 收敛半径的三种求法
• 收敛半径求法
• 高数里无穷级数中什么时候用比较审敛法什么时候用比值审敛法

高数，求幂级数收敛半径

用比值法：

lim(n-》∞)|u(n+1)(x)/un(x)|=lim(n-》∞)|(-1)/((n+1)*4^(n+1))*n*4^n)*x^2|=lim(n-》∞)|nx^2/(4(n+1))|=x^2/4

当x^2/4《1 即|x|《2时，所给级数绝对收敛，当x^2/4》1 即|x|》2时，所给级数发散，

∴所给级数的收敛半径为2

扩展资料：

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 | z -a| 《 r时幂级数收敛，在 | z -a| 》 r时幂级数发散。

具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：

 是正实数时，R=  ； = 0时，R=  ； =  时，R=0。

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式。或者，复分析中的收敛半径将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。 [

收敛半径可以被如下定理刻画：

一个中心为 a的幂级数  的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。

例如：函数没有复根。它在零处的泰勒展开为：运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数  在 ±i存在奇点，其与原点0的距离是1。

数学名词。一个数自乘若干次的形式叫"幂"，如α自乘n次的幂，符号记作an。

乘幂也叫"乘方"，一个数自乘若干次的积数。

如4的3乘方又叫4*4*4

注意区别下4的三次方 三的四次方是不同的概念 （4的3次方就是4*4*4=64.3的4次方是3*3*3*3=81）

数学上指一个数自乘若干次形式～次（方次）。乘～（乘方）。

达朗贝尔审敛法为什么比值必须求极限直接Un+1/Un<1就不行（在线等有加分）

不行，比如对级数∑1/n，∑1/n²，它们都满足Un+1/Un《1，但前一个发散，后一个收敛。

达朗贝尔审敛法为什么不适用于调和级数

你好！达朗贝尔审敛法只能在比值极限小于时说明级数收敛，在比值极限大于1时说明级数发散，而在比值极限等于1时无法判断。而调和级数的比值极限正好就是1，所以不能用达朗贝尔审敛法。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

比值审敛法是什么啊

比值审敛法是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法。

比如比值根值法不便，但与另一己知敛散的级数v之比的极限可知，则可由比值和v的敛散判定U的敛散。使用的思想有点类似极限的迫敛性判别。如果正项级数通项极限为0，后项比前项极限小于1或大于1是易知的，则用比值法。

比值审敛法的原理：

对于正项级数 n=1∑∞ Un，设A=lim(Un+1/|Un)（n-》∞）。

若A《1，则原级数绝对收敛。

若A》1，则原级数发散。

若A=1，则原级数敛散性不定。

所有正项级数收敛的必要条件都是一般项趋于零。交错级数还要判别绝对敛散性(同正项)。

比值审敛法

达朗贝尔判别法，又称比值判别法，是用来判别级数敛散性的一种方法，是由法国著名的物理学家、数学家和天文学家让·勒朗·达朗贝尔提出

比值审敛法是什么

比值审敛法是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法（D’Alembert’s test）。

达朗贝尔（1717～1783）法国著名的物理学家、数学家和天文学家。1717年11月17日生于巴黎，1783年10月29日卒于巴黎。

一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有八卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、23卷的《文集》、《百科全书》的序言等等。

数学：

数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析的主要开拓者和奠基人。达朗贝尔为极限作了较好的定义，但他没有把这种表达公式化。波义尔做出这样的评价：达朗贝尔没有摆脱传统的几何方法的影响，不可能把极限用严格形式阐述；但他是当时几乎唯一一位把微分看成是函数极限的数学家。

达朗贝尔是十八世纪少数几个把收敛级数和发散级数分开的数学家之一，并且他还提出了一种判别级数绝对收敛的方法——达朗贝尔判别法，即现在还使用的比值判别法；他同时是三角级数理论的奠基人；达朗贝尔为偏微分方程的出现也做出了巨大的贡献。

收敛半径怎么求公式是什么

级数收敛半径怎么求，公式是什么？

如图

拓展资料：

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足:如果幂级数满足，则:ρ是正实数时，1/ρ；ρ = 0时，+∞；ρ =+∞时，R= 0。

1.根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则： ρ是正实数时，1/ρ。 ρ = 0时，+∞。ρ =+∞时，R= 0。

2.根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式,或者,复分析中的收敛半径,将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：个中心为 a的幂级数 f的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离,到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘,最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此.

收敛半径的三种求法

收敛半径的三种求法如下：

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足:如果幂级数满足，则:

ρ是正实数时，1/ρ。ρ = 0时，+∞。ρ =+∞时，R= 0。

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式:

或者。复分析中的收敛半径将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。 收敛半径可以被如下定理刻画:

一个中心为 a的幂级数 f的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。

到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。

最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如:函数

没有复根。它在零处的泰勒展开为:

运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数 f(z) 在 ±i 存在奇点，其与原点0的距离是1。

收敛半径定义：

敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 | z -a| 《 r时幂级数收敛，在 | z -a| 》 r时幂级数发散。

具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的:对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

收敛半径求法

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：ρ是正实数时，R=1/ρ；ρ= 0时，R= ∞；ρ= ∞时，R=0。根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式。或者，复分析中的收敛半径将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。

扩展资料

　　收敛圆上的敛散性

　　如果幂级数在a附近可展，并且收敛半径为r，那么所有满足|za|=r的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。

　　例1：幂级数的`收敛半径是1并在整个收敛圆上收敛。设h(z)是这个级数对应的函数，那么h(z)是例2中的g(z)除以z后的导数。h(z)是双对数函数。

　　例2：幂级数的收敛半径是1并在整个收敛圆上一致收敛，但是并不在收敛圆上绝对收敛。

　　收敛半径一般的推导

　　用第n 1项除以第n项,整个的绝对值,小于1,解出x(或x-a这决定于你级数的展开)的绝对值小于的值就是收敛半径收敛域就是求使其收敛的所有的点构成的区域。

　　比如收敛半径是r,求收敛域,就是判断x(或x-a)的对值r时必发散,所以只要判断=r时的两个点是否收敛即可,如过有收敛就把该点并到《r的区域上即得收敛域。

高数里无穷级数中什么时候用比较审敛法什么时候用比值审敛法

首先必须是正项级数，然后根据通项优先考虑比值审敛法或根值审敛法，如果用这两种方法得出极限值为1，无法判定敛散性，这两种方法失效，这时候一般用比较审敛法是有效的。

比值审敛法较为简单，但是使用范围窄，比较审敛法使用范围广，但是找一个已知的级数用来有效地判定所求级数的敛散性比较麻烦。

扩展资料：

比值审敛法是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法（D’Alembert’s test）。

定理

设

为正项级数，其中每一项皆为非 0 的实数或复数，如果

当ρ《1时级数收敛。

当ρ》1时级数发散。

当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

典型题

，而一般项为1/n的级数发散（调和级数发散），由比较审敛法知此级数发散。