圆周率的值在不同曲率的弯曲空间中是不一样的吗？为什么黎曼曲率张量中只有一个是独立的

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• 圆周率的值在不同曲率的弯曲空间中是不一样的吗
• 为什么黎曼曲率张量中只有一个是独立的
• 曲率是矢量还是标量

圆周率的值在不同曲率的弯曲空间中是不一样的吗

圆周率的数值在不同曲率的弯曲空间中是不一样的。在欧几里得几何中，也就是在平直空间中，圆的周长与直径之比是恒定的常数——圆周率π，这是一个无理数，为3.1415926…。但在非欧几何中，圆周率就不是一个常数。

根据爱因斯坦的广义相对论，我们并非生活在欧氏空间中。由于空间中存在物质和能量，这会引发空间弯曲。质量密度越高的物体，所造成的空间弯曲程度越大，表现出的引力越强。

在弯曲的空间中，我们可以把圆的直径定义为连接圆上两点的最大测地线距离。取圆的周长与直径之比，结果不为欧氏几何中的π，而且也不是一个常数，与空间曲率有关。

根据黎曼几何，如果在曲率为正的空间中，例如，闭合的球体，圆周率会小于π，并且曲率越大，圆周率越小。另一方面，如果在曲率为负的空间中，例如，开放的马鞍面或者双曲面，圆周率会大于π。

事实上，还有比上述复杂得多的几何学，圆周率取决于圆在空间中的方向。正因为如此，曲率是由张量来衡量的，而不是一个简单的数字标量。在广义相对论中，表示曲率的是里奇张量。在平直时空中，里奇曲率张量等于0。

如前所述，在弯曲空间中，圆的周长和直径之比并非一个常数。如果要定义这种圆周率的符号，显然需要引入一个张量符号，而不是像π这样的标量符号。事实上，引力场方程中的π就是数学中欧氏几何的π，是一个完全确定的常数。在计算时，只要代入3.1415926…即可，无需考虑曲率，因为这里的π不是因为空间曲率而引入的。

为什么黎曼曲率张量中只有一个是独立的

中已经给出了仿射空间中的曲率张量形式：（1）将联络限定为克氏符，就得到黎曼空间中的曲率张量，它具有几个重要性质：1、后一对指标反称2、前一对指标也反称3、前一对指标和后一对指标对称4、里奇恒等式：代入（1）式即可证明通过曲率张量的指标缩并，可以得到三个重要的张量：1、里奇张量 文章（7）的最后给出了曲率张量的两种缩并，但由于我们限定了联络为克氏符，增加了对称性，导致曲率张量只剩下一种缩并：缩并后称为里奇张量，里奇张量是对称的：2、曲率标量里奇张量的缩并称为曲率标量：3、爱因斯坦张量用里奇张量和曲率标量可以构造爱因斯坦张量：显然它也是对称的，之后构造爱因斯坦场方程的时候我们还会讨论到它。接下来讨论曲率张量的独立分量，分三个情况讨论：1、四个指标中只有两个不同值独立分量个数为：例如，四维空间n=4，从四个数中选出两个数，有6种取法，考虑其中任意一种，比如1和2，用这两个数填满四个指标位，由于前面讨论的曲率张量的对称性，1112和2221及其对称性的变形都是0，只能存在1212这一种独立的情形，所以独立分量有6×1=6种，符合公式的结果。2、四个指标中有三个不同值独立分量个数为：同样以n=4为例，从四个数中选三个，有4种取法，考虑其中任意一种，比如123，要填满四个指标位，则剩下的空位可以是1或2或3，三种重复取法，这三种方法中的任意一种，例如重复1，则四个数为1231，两个1排列在一起会因为对称性导致分量为0，所以1231就代表了所有对称性的变形，即只有1231一个独立变量，综上，独立分量的个数为4×3×1=12，符合公式的结论。3、四个指标都不同独立指标个数为：继续令n=4，从4个数中选4个数，只有一种取法，即1234，由于对称性，独立的排法只有1234、1324和1423三种，再考虑里奇恒等式，这三种排法中的任意两个可以一起导出第三个，所以实际的独立分量个数只有1×2=2种，同样符合公式结果。综合前面讨论的三种情况，n维黎曼空间曲率张量不为0的独立分量个数为： 对于里奇张量，由于只有两个指标，并且是对称张量，说明这个张量的矩阵只有对角线上的元以及对角线其中一侧的元是独立的，因为两个指标对称意味着对角线两侧的元对应相等，例如R12=R21，所以对于n维的里奇张量，独立分量的个数为：同理，爱因斯坦张量由里奇张量、度规和曲率标量构成，度规和里奇张量一样是两指标对称，曲率标量只有一个分量，则爱因斯坦张量的独立分量个数也是N=n(n+1)/2，对四维时空，N=10。 通过黎曼空间的曲率，可以判断空间的平坦性，我们采用的是无挠黎曼时空，所以挠率为0，如果令曲率也为0：（2）此时一定能找到一个坐标系，可以使联络所有分量都为0：参考文章（9）中满足克氏符要求的式子：克氏符为0，上式化为：上式说明度规分量都是常数，文章（8）中已经提到过，这样的度规一定可以化成正则形式，说明空间是平坦的，即当黎曼空间是一个曲率为0的四维时空时，度规一定可以化成闵可夫斯基度规，空间就是平坦的。（2）式就是黎曼空间平坦性的判据。从曲率张量定义式（1）可以证明一个曲率的微分恒等式：上式称为毕安基(Bianchi)恒等式，下面简单证明一下，由于这是一个张量关系式，不依赖于坐标的选取，所以在任何坐标系下证明都可以，方便起见，我们对任意一点P取此处联络为0的坐标系来证明：既然联络为0，则曲率的协变微商等于普通微商：代入（1）式，并且考虑联络为0，得到：同理可得：把这三个式子相加，并且注意到普通微商求导的顺序可以交换，就得到了毕安基恒等式。现在缩并毕安基恒等式的指标ρ和σ，得到：第二项的负号是因为指标σ和v反称，换位后σ和ρ缩并上式都乘一个度规，得到：再考虑文章（9）提到的度规协变微商为0，所以有：上面两式相加，每一项就是度规和曲率张量的乘积的协变微商：缩并指标得到：注意指标的任意性，用v取代σ，得到：即：其中，文章（8）提到过，克罗内克尔符号实际上就是度规的混合张量形式，上式还可以写成协变和逆变形式：括号项就是爱因斯坦张量，显然，上面三个式子都在告诉我们，爱因斯坦张量的协变微商或者说协变散度为0：爱因斯坦张量的这一性质对后面建立广义相对论的场方程十分重要。本文禁止转载或摘编笔记广义相对论毕安基恒等式里奇张量曲率标量爱因斯坦张量54分享展开阅读全文推荐文章使用ListAssFonts快速匹配ASS所需字幕学习 · 101阅读2023年湖北十一校第一次联考（考察很全面，知识点覆盖面很广）学习 · 52阅读2022年华为杯研究生数学建模竞赛获奖名单！学习 · 216阅读热门评论（0）请先登录后发表评论 (・ω・)表情发布看看下面~来发评论吧

曲率是矢量还是标量

曲率有很多，如黎曼曲率张量，里奇张量，曲率标量，以及其它前两者缩并或借度规缩并组成的标量如  之类反应时空弯曲，如矢量沿闭合路径平移回到原点改变量不为0之类曲率飞船是借时空  分解写出的一个度规：此线元坐标系的共动观者即为沿  轴运动的飞船，具有非  的膨胀在飞船前方膨胀  ，后方  ，故飞船靠近前方观者远离后方观者结合飞船无钟慢效应，可以理解为飞船不动，前方空间压缩后方空间扩张，推动飞船前进