斯特林公式证明（证明：2N的阶乘除以2的N次成以N的阶乘=1.3.5.7.（2n-1））
本文目录
- 证明：2N的阶乘除以2的N次成以N的阶乘=1.3.5.7.(2n-1)
- 【微积分数列极限】用ε-N证明极限是0（1）n^2/e^n (2)e^n/n!
- 数学比大小
- 斯特林循环的效率公式
- 斯特林公式是什么
- 阶乘、奇数偶数阶乘的相关公式和斯特林公式的证明
证明：2N的阶乘除以2的N次成以N的阶乘=1.3.5.7.(2n-1)
楼上典型的民科。这道题难度比较大，我默认题主基础较好，如果有不明白的请提问。此题要用到一个公式：斯特林公式——stirling公式，是取n阶乘近似值的公式。然后利用级数的敛散性只与后无穷项有关，再利用极限的定义，将难算的阶乘换为斯特林公式乘上极限的误差值(1±ε)进行放大（因为要证收敛嘛，所以一直用原式最终得到此级数小于（-1.5次幂）级数的值而收敛。不多说了，如下图两张：如图，如有疑问或不明白请追问哦！
【微积分数列极限】用ε-N证明极限是0（1）n^2/e^n (2)e^n/n!
（1）对任意ε》0，存在正整数N=+1，使对所有n》N，有|n^2/e^n|=n^2/e^n=n^2/(1+n+n^2/2!+n^3/3!+...)《n^2/(n^3/3!)=6/n《6/N=6/(+1)《6/(6/ε)=ε所以lim(n-》∞)(n^2)/(e^n)=0（2）对任意ε》0，存在正整数N=+1，使对所有n》N，有|e^n/n!|=e^n/n!《e^n/ //这里运用了斯特林公式《e^n/=^n=e^{ln^n}=e^=(1/e)^《(1/e)^(lnn-2)《(1/e)^(lnN-2)=e^2/N=e^2/{+1}《e^2/(e^2/ε)=ε所以lim(n-》∞)(e^n)/(n!)=0
数学比大小
0.01大当a中的表达式乘到 7999/8000 时已经小于0.01而a约等于0.005641825312220420060049462一般地，我们可以通过斯特林公式将a化简定义a=(1*3*5*...*(2n-1)) / (2*4*6*...*(2n))那么可以将a化简为 (2n)! / ((2^2n)*(n!)*(n!))斯特林公式适用于估计n!的，当n比较大的时候适用：√(2*п*n) * ((n/e)^n)利用斯特林公式代换a≈1/√(п*n)然后令n=10000，a=1/√(10000п)≈0.005就这样关于斯特林公式的证明此处略去。 转自：***隐藏网址***
斯特林循环的效率公式
斯特林循环的热效率为式中W 为输出的净功；Q1为输入的热量。根据这个公式，ηt只取决于T1和T2，T1越高、T2越低时，则ηt越高，而且等于相同温度范围内的卡诺循环热效率。因此，斯特林发动机是一种很有前途的热力发动机。斯特林循环也可以反向操作，这时它就成为最有效的制冷机循环。
斯特林公式是什么
斯特林公式\x0d\x0a在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义．在数学分析中，大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导，很为繁琐冗长．近年来，一些国内外学者利用概率论中的指数分布、泊松分布、X^2分布证之。\x0d\x0a\x0d\x0alim(n→∞)n! / = √(2π)\x0d\x0a即lim(n→∞) √(2πn) * n^n * e^(-n) / n! = 1
阶乘、奇数偶数阶乘的相关公式和斯特林公式的证明
伽玛函数的定义： ，其中， 。当 时，则有：可以得出，若 ，则有： 设 ，其中，函数单调递减， 。当 时，有 的递推公式：可以得出，若 ，则有： ，有此可推出：这就推导出了沃利斯公式。斯特林公式是 的近似值， ，下面来证明此结论。参考上图，数列 表示曲线 与 轴之间的区域面积，则： 数列 表示 的不足近似。它是将点 通过直线连接，计算折线与 轴之间由 个梯形组成的区域的面积得到，则：数列 表示 的过剩近似。它是先做点 的切线，然后可以得到由切线和三条直线 围成的 个梯形。这些梯形的面积，加上三角形 的面积，再加上矩形 的面积得到，则：设数列 ，由于 单调递增且有界，故 必有极限，且可得到 的表达式： ，其中 必有极限； 将 的表达式带入沃利斯公式可得：这就证明了斯特林公式。
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