一文看懂：单颗粒在流体中的受力？斯托克斯公式流体力学

本文目录

• 一文看懂：单颗粒在流体中的受力
• 斯托克斯公式流体力学
• 斯托克斯空气流速方程能被解释吗
• 斯托克斯公式的应用条件是什么
• 斯托克斯定理的流体力学
• 斯托克斯定理的流形上的斯托克斯公式
• 斯托克斯的主要贡献

一文看懂：单颗粒在流体中的受力

下文中，颗粒直径为 ，密度为 ，流体密度为 ，流体动力粘度为 ， 分别表示颗粒速度，流体速度，滑移速度（流体速度减去颗粒速度）

当物体加速时，惯性会是物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该物体为参照物，看起来仿佛有一股方向相反的力作用在该物体上。 从表达式可以看出，惯**为 ，即其他力的合力

又称阻力，是流体与颗粒发生相对运动时所产生的与运动方向相反的力。 其中 为阻力系数。如果流动为“爬流”，则 有解析解，即斯托克斯定律。

这种“低速”运动还被称为“爬流”，“滞流”，“斯托克斯流”。如图，流体从无穷远处向 轴正方向流动，来流速度为 ，压力

颗粒表面 点处的局部面元会受到 平行于面元法向 的压力以及 垂直于面元法向 的剪切力即摩擦力。通过计算压力和摩擦力在 方向分力沿整个颗粒表面的积分，可以得到颗粒在 方向所受的阻力。在球坐标系中，空间点 的坐标如图为 。 为 点与原点连线和 轴的夹角， 为 点在 平面投影与 轴的夹角。

对于爬流 ，球坐标系下空间中任意一点的压力 和剪切力为

以上推导过程见《传递过程原理》流函数章节。压力方程中的笛卡尔坐标与球坐标的转化为

将 和 的 方向的分力沿整个球面积分。首先计算图中蓝色圆环的面积。设圆环所在的、与 平面平行的圆的半径为 ，球半径为 ，圆环与 轴夹角为 ，圆环上端与下端之间的夹角为 ，对应的弧长为 ，则圆环（也可以认为是球台）的面积为

由 产生的 方向分力积分为

可见，在 静止流体 中，颗粒表面压力积分为 浮力 ，即 压力梯度力=浮力 。

由 产生的 方向分力积分为

因此，颗粒在 方向受到的流体总的作用力为

其中 运动部分产生的阻力 为 ，阻力系数或曳力系数为

其中 ，上式则为 斯托克斯定律 。其应用范围为 爬流 。

前面已经提到过，压力梯度力与流体和颗粒之间是否存在相对运动无关，只要把颗粒置于有压力梯度的流场中，则颗粒会受压力梯度引起的力：

静止流体中，只有重力方向存在压力梯度，

此时压力梯度力=浮力，与前文结果相同。浮力本质上是流体对浸没于流体中的物体在重力方向上下表面的作用力，而流体在“上下表面产生不同大小的力”，换一种表述方式就是流体的压力梯度。因此浮力应归于压力梯度力。

颗粒以 相对加速度 在流体中作加速运动时，必将带动周围流体加速，因此这种推动颗粒做加速运动的力同时也推动了流体运动，这就好像是颗粒质量变大了一样。颗粒在静止、无粘、不可压缩流体中的变速运动过程经推导可得颗粒表面压力分布为

可见，如果颗粒做匀速直线运动，则上式不存在最后一项。对最后一项做球面积分可计算出附加质量力的大小

由于流体有粘性，当颗粒有相对加速度时，颗粒周围的流场不能马上达到稳定。因此，流体对颗粒的作用力不仅依赖于 当时颗粒的相对速度 （曳力）、 当时的相对加速度 （附加质量力），还依赖于这之前加速度的历史。

若在流场中 存在速度梯度 ，该梯度会引起颗粒旋转。这时，因为速度大的一侧压力小，速度小的一侧压力大，这样产生的压差力将推动球体向速度大的一侧移动，这种推动力为Magnus力。足球比赛中的“香蕉球”和此力有关。

该力 和颗粒旋转有关 ，颗粒旋转角速度为 ，则颗粒在运动流体中的Magnus力为

当颗粒处于有速度梯度的流场中，即使 颗粒没有旋转 ，也会受横向升力。

通常在壁面处需要考虑该力，因为壁面处速度梯度较大。

如果流体为空气，通常升力被称为气动力（aerodynamic force）

升力可以和曳力一起讨论，两者表达式相同，曳力平行于流动方向，升力 垂直于 流动方向。若升力系数为 ，则

颗粒在静止流体中自由沉降，达到 受力平衡时 的速度为终端速度。此时颗粒浮力、重力、曳力三者平衡。

由此 是 的函数，而 与颗粒速度相关，因此上式需要迭代求解。

斯托克斯公式流体力学

斯托克斯公式流体力学如下：

斯托克斯公式由于流体的粘滞性，固体在流体中运动会受到两种阻力，一种是由于层流体附着在固体表面，层流体和邻层流体间的内摩擦力；另一种是为压强阻力，压强阻力的实质是尾随运动着的固体后面的流体中，有涡旋产生。

固体相对于流体的速度小时涡旋还未形成，压强阻力可被忽略，这时，阻力可视为只有前一种。半径为r的球形物体，在粘滞系数为η的流体中，以速度v运动时，所受阻力为：f＝6πηrv。

流体力学是力学的一个分支，主要研究在各种力的作用下，流体本身的静止状态和运动状态以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动规律。

流体力学既包含自然科学的基础理论，又涉及工程技术科学方面的应用。以上主要是从研究对象的角度来说明流体力学的内容和分支。此外，如从流体作用力的角度，则可分为流体静力学、流体运动学和流体动力学；从对不同“力学模型”的研究来分，则有理想流体动力学、粘性流体动力学、不可压缩流体动力学、可压缩流体动力学和非牛顿流体力学等。

斯托克斯空气流速方程能被解释吗

这是最基本的流体力学原理。流体（包括液体气体）由宽阔地带流入狭窄地带时，会流速加快，压力降低。在两张纸中间吹动，气体流速加快，气压降低，造成纸内外气压差，大气压把纸压向中间合拢。河流进入狭窄地段后会变得湍急，门洞内会产生风（过堂风），汽车急速驶过会引起尘土飞扬，都是这个原理。

斯托克斯公式的应用条件是什么

条件：当曲面是面xOy上的一块平面闭区域时

斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面积分与沿 S的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系.

对曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下规定：设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L 的正向.这个规定方法也称为右手法则。

扩展资料

纳维-斯托克斯方程在建模仿真中的应用

纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。

由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。

斯托克斯定理的流体力学

当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。

斯托克斯定理的流形上的斯托克斯公式

令 M 为一个可定向分段光滑 n 维流形，令 ω 为 M 上的 n−1 阶 C 类紧支撑微分形式。如果 ∂M 表示 M 的边界，并以 M 的方向诱导的方向为边界的方向，则 这里 dω 是 ω 的外微分, 只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes’ formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。该定理经常用于 M 是嵌入到某个定义了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。

斯托克斯的主要贡献

斯托克斯的主要贡献是对粘性流体运动规律的研究。C．-L．-M．-H．纳维从分子假设出发，将L．欧拉关于流体运动方程推广，1821年获得带有一个反映粘性的常数的运动方程。1845年斯托克斯从改用连续系统的力学模型和牛顿关于粘性流体的物理规律出发，在《论运动中流体的内摩擦理论和弹性体平衡和运动的理论》（On the theories of the internal friction of fluids motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids）中给出粘性流体运动的基本方程组，其中含有两个常数。这组方程后称纳维-斯托克斯方程，它是流体力学中最基本的方程组。斯托克斯还研究过不满足牛顿粘性规律的流体的运动，但这种“非牛顿”的理论直到20世纪40年代才得到重视和发展。1851年，斯托克斯在《流体内摩擦对摆运动的影响》（On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums）的研究报告中提出球体在粘性流体中作较慢运动时受到的阻力的计算公式，指明阻力与流速和粘滞系数成比例，这是关于阻力的斯托斯公式。斯托克斯发现流体表面波的非线性特征，其波速依赖于波幅，并首次用摄动方法处理了非线性波问题（1847）。斯托克斯对弹**学也有研究，他指出各向同性弹性体中存在两种基本抗力，即体积压缩的抗力和对剪切的抗力，明确引入压缩刚度的剪切刚度（1845），证明弹性纵波是无旋容胀波，弹性横波是等容畸变波（1849）。斯托克斯在数学方面以场论中关于线积分和面积分之间的一个转换公式(斯托克斯公式)而闻名。该公式是他1854年为史密斯奖试卷所写的考题。新托克斯在物理学方面的成就有：用荧光研究紫外线，利用测量地球表面的重力变化来测地形（1849），对太阳光谱中的暗线（即夫琅和费线）作出解释等。斯托克斯的数学和物理论文汇编成集，共5卷。此外还著有《论光》（On Light，1887）和《自然神学》（Natural Theology,1891）等书。